Algebre tensorielle Nous considerons un espace vectoriel euclidien E de dimension N sur le corps des reels R Chaque element x de cet espace sera appele vecteur et sera note avec un trait dessous pour le differencier des scalaires du corps R par exemple Nous introduisons ici de fac¸on tres simplifiee la notion de tenseur eucli dien Dans un premier temps nous definissons les composantes covariantes et contravariantes d'un vecteur x element de E Ensuite nous introdui sons la definition des tenseurs euclidiens et de leurs composantes Enfin les operations classiques sur les tenseurs sont expliquees

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CALCUL TENSORIEL 1 Algebre tensorielle Nous considerons un espace vectoriel euclidien E, de dimension N , sur le corps des reels R. Chaque element ??x de cet espace sera appele vecteur, et sera note avec un trait dessous pour le differencier des scalaires du corps R, par exemple ?. Nous introduisons ici de fac¸on tres simplifiee la notion de tenseur eucli- dien. Dans un premier temps, nous definissons les composantes covariantes et contravariantes d'un vecteur ??x , element de E. Ensuite, nous introdui- sons la definition des tenseurs euclidiens et de leurs composantes. Enfin, les operations classiques sur les tenseurs sont expliquees. 1.1 Composantes d'un vecteur Nous considerons un vecteur quelconque ??x de E, et un ensemble de N vec- teurs de base ??a i. Il existe deux fac¸ons differentes d'exprimer les composantes de ??x dans cette base : – On peut decomposer ??x sur ces vecteurs pour obtenir : ??x = N∑ i=1 xi??a i souvent note ??x = xi??a i (1) Dans cette equation, une sommation implicite est effectuee sur les in- dices repetes en positions superieure et inferieure dans un produit. C'est la convention de sommation dite d'Einstein. – On peut effectuer le produit scalaire de ??x avec ces vecteurs pour ob- tenir : 1

convention de sommation

tenseur

matrice identite

composante

indice

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CALCUL TENSORIEL

1Algebretensorielle

Nousconsideronsunespacevectorieleuclidien E , de dimension N , sur le corpsdesreels R .Chaqueelement − x → decetespaceseraappele vecteur , et seranoteavecuntraitdessouspourledierencierdes scalaires du corps R , par exemple λ . Nousintroduisonsicidefacontressimplieelanotiondetenseureucli-dien.Dansunpremiertemps,nousdenissonslescomposantes covariantes et contravariantes d’un vecteur −→ x ,elementde E . Ensuite, nous introdui-sonsladenitiondestenseurseuclidiensetdeleurscomposantes.Enn,les operationsclassiquessurlestenseurssontexpliquees.

1.1 Composantes d’un vecteur −→ Nousconsideronsunvecteurquelconque x de E , et un ensemble de N vec-teurs de base − a → i .Ilexistedeuxfaconsdierentesd’exprimerlescomposantes de −→ x dans cette base : – On peut d ompo −→ r ces vecteurs pour obtenir : ec ser x su N − x → = X x i − a → i souventnote −→ i −→ a i (1) x = x i =1 Danscetteequation,unesommationimpliciteesteectueesurlesin-dicesrepetesenpositionssuperieureetinferieuredansunproduit.C’est    la convention de sommation dite d’ Einstein . – On peut eectuer le produit scalaire de −→ x avec ces vecteurs pour ob-tenir :

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