Variétés différentielles, physique et invariants topologiques , livre ebook

La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.

Introduction 7

1 Variétés topologiques 13

1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16

1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17

1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23

1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33

2 Groupe fondamental 39

2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41

2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45

2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50

2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54

2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56

2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58

3 Catégories et foncteurs 61

3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61

3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63

3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66

3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67

3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71

3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72

3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73

3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74

3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75

3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78

3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79

3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81

4 Variétés différentiables 85

4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85

4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90

4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92

4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93

4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95

4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96

4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97

4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101

4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103

4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105

4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106

5 Espaces fibrés 109

5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109

5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113

5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116

5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116

5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117

5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118

5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121

5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124

5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128

5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129

5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130

6 Algèbre tensorielle et extérieure 135

6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135

6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137

6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140

6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141

6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142

6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144

6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146

6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147

6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150

6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152

7 Formes différentielles 157

7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157

7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160

7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161

7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162

7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163

7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164

7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166

7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168

7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171

8 Géométrie riemannienne 175

8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175

8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180

8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185

8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186

8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188

8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193

8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194

8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198

8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203

8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207

9 Algèbre homologique 211

9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211

9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216

9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221

9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227

9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229

9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231

9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234

9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238

10 Variétés complexes 247

10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247

10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251

10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252

10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255

10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263

10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268

11 Connexions sur les fibrés 271

11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271

11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273

11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274

11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276

11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277

11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280

11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283

12 Théorie de l’indice 287

12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287

12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290

12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301

12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303

12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311

13 Systèmes hamiltoniens 315

13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315

13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320

13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323

13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328

13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333

13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336

13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341

13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343

13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345

14 Relativité générale 349

14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350

14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351

14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355

14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356

14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357

14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359

14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361

Bibliographie 365