La théorie des nombres , livre ebook

Robin Wilson
La théorie
des nombres
La théorie des nombres est la branche des mathématiques qui
s’intéresse aux propriétés des nombres entiers, notamment
des nombres premiers. Il s’agit d’un sujet ancien, qui remonte
à l’époque de la Grèce antique, et qui est étudié depuis de
nombreuses années pour sa beauté et son élégance
intrinsèques. Plusieurs de ses défs sont si faciles à énoncer que
tout le monde peut les comprendre, et pourtant personne n’a Robin Wilson
jamais été capable de les résoudre.
Récemment, la théorie des nombres a acquis une grande impor- La théorie
tance pratique dans le domaine de la cryptographie, où la sécurité
des cartes de crédit, mais aussi des nations dépend d’un résultat
e des nombresconcernant les nombres premiers qui remonte au xviii siècle. Ces
dernières années ont été marquées par d’autres développements
spectaculaires, comme la publication par Andrew Wiles de la preuve
du « dernier théorème de Fermat », 350 ans après son énoncé.
Robin Wilson présente dans ce livre les principaux domaines de la
théorie classique des nombres et leurs applications concrètes. En
s’appuyant sur les travaux de plusieurs des plus grands
mathématiciens, tels qu’Euclide, Fermat, Euler et Gauss, il montre l’évolution
des problèmes les plus intéressants et créatifs de cette discipline.
Robin Wilson est professeur émérite de mathématiques pures à
l’Open University, professeur émérite de géométrie au Gresham
College de Londres et ancien membre du Keble College de
l’Université d’Oxford. Ancien président de la British Society for
the History of Mathematics, il a écrit
et édité plus de 40 livres sur le sujet.
ISBN : 978-2-7598-3048-0
9:HSMHPJ=]XUY]U:>
www.edpsciences.org
Robin Wilson La théorie des nombresRobin Wilson
La théorie
des nombres
La théorie des nombres est la branche des mathématiques qui
s’intéresse aux propriétés des nombres entiers, notamment
des nombres premiers. Il s’agit d’un sujet ancien, qui remonte
à l’époque de la Grèce antique, et qui est étudié depuis de
nombreuses années pour sa beauté et son élégance
intrinsèques. Plusieurs de ses défs sont si faciles à énoncer que
tout le monde peut les comprendre, et pourtant personne n’a Robin Wilson
jamais été capable de les résoudre.
Récemment, la théorie des nombres a acquis une grande impor- La théorie
tance pratique dans le domaine de la cryptographie, où la sécurité
des cartes de crédit, mais aussi des nations dépend d’un résultat
e des nombresconcernant les nombres premiers qui remonte au xviii siècle. Ces
dernières années ont été marquées par d’autres développements
spectaculaires, comme la publication par Andrew Wiles de la preuve
du « dernier théorème de Fermat », 350 ans après son énoncé.
Robin Wilson présente dans ce livre les principaux domaines de la
théorie classique des nombres et leurs applications concrètes. En
s’appuyant sur les travaux de plusieurs des plus grands
mathématiciens, tels qu’Euclide, Fermat, Euler et Gauss, il montre l’évolution
des problèmes les plus intéressants et créatifs de cette discipline.
Robin Wilson est professeur émérite de mathématiques pures à
l’Open University, professeur émérite de géométrie au Gresham
College de Londres et ancien membre du Keble College de
l’Université d’Oxford. Ancien président de la British Society for
the History of Mathematics, il a écrit
et édité plus de 40 livres sur le sujet.
ISBN : 978-2-7598-3048-0
9:HSMHPJ=]XUY]U:>
www.edpsciences.org
Robin Wilson La théorie des nombresLa théorie
des nombresRobin Wilson
La théorie
des nombres
Traduit de l’anglais par Alan RodneyChronoSciences
Collection destinée à un large public qui invite le lecteur à découvrir de façon
très complète mais de manière abordable un sujet ou une thématique précise.
« Dans la même collection »
L’Intelligence artifcielle, M. A. Boden, 2021
La Théorie quantique, J. Polkinghorne, 2021
Les Marées, D. G. Bowers et E. M. Roberts, 2021
L’Anthropocène, E. C. Ellis, 2021
L’Odorat, M. Cobb, 2021
Le Changement climatique, M. Maslin, 2022
Les Énergies renouvelables, N. Jelley, 2022
L’écologie, J. Ghazoul, 2022
Le temps, Jenann Ismael, 2022
La physique, Sidney Perkowitz, 2022
Number Theory: A Very Short Introduction was originally published
in English in 2019. This translation is published by arrangement
with Oxford University Press.
© Robin Wilson 2020.
© Pour la traduction française, EDP sciences, 2023.
Composition et mise en page : Desk (www.desk53.com.fr)
Imprimé en France
Papier : 978-2-7598-3048-0
E-book : 978-2-7598-3049-7
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés,
réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des
alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions
strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale,
ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit
erou ayants cause est illicite » (alinéa 1 de l’article 40). Cette représentation
ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une
contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.  
Table des matières
1. Qu’est-ce que la théorie des nombres ? ..................... 7
2. La multiplication et la division ................................................ 21
3. Les mathématiques en « prime-time » ........................ 46
4. Congruences, horloges et calendriers ........................... 69
5. Encore des triangles et des carrés ..................................... 90
6. Des cartes à la cryptographie .................................................. 109
7. Conjectures et théorèmes .......................................................... 125
8. Comment gagner un million de dollars ? ................... 145
9. En fn de compte ................................................................................... 157
Lectures supplémentaires .................................................................. 168
Index .......................................................................................................................... 171
5  

1
Qu’est-ce que la théorie
des nombres ?
Considérons les questions suivantes :
En quelles années le mois de février compte-t-il cinq dimanches ?
Qu’y a-t-il de particulier dans le nombre 4 294 967 297 ?
Combien de triangles rectangles dont les côtés sont des nombres
entiers ont un côté de longueur 29 ?
Certains de ces nombres : 11, 111, 1 111, 11 111, … sont-ils des
carrés parfaits ?
J’ai des œufs. Lorsqu’ils sont disposés en rangées de 3, il en reste
2. En rangées de 5, il en reste 3. En rangées de 7, il en reste 2.
Combien d’œufs ai-je en tout ?
Peut-on construire un polygone régulier de 100 côtés si la mesure
est interdite ?
Combien de mélanges de cartes sont nécessaires pour rétablir
l’ordre dans un paquet qui comprend deux jokers ?
Si je peux acheter des perdrix pour 3 centimes pièce, des pigeons
pour 2 centimes pièce et 2 moineaux pour un centime et si je
dépense 30 centimes pour acheter 30 oiseaux, combien d’oiseaux
de chaque espèce dois-je acheter ?
7   LA THÉORIE DES NOMBRES 
Comment les nombres premiers permettent-ils de sécuriser nos
cartes de crédit ?
Qu’est-ce que l’hypothèse de Riemann, et comment puis-je gagner
un million de dollars ?
Comme vous allez le découvrir, ce sont toutes des
questions qui relèvent de la théorie des nombres, la branche des
mathématiques qui s’intéresse principalement aux nombres
entiers naturels, soit les nombres avec lesquels on compte, 1,
2, 3, … et nous aborderons toutes ces questions par la suite.
Les nombres premiers, les « briques constitutives » de notre
système de numération, revêtiront ici une importance
particulière : il s’agit de nombres tels que 19, 199 et 1 999, dont
les seuls facteurs sont eux-mêmes et 1, contrairement à 99,
qui est 9 × 11, et à 999, qui est 27 × 37. Une grande partie
de ce livre est consacrée à l’exploration de leurs propriétés.
La théorie des nombres est un sujet ancien et remonte à plus de
deux millénaires, chez les Grecs anciens. Le mot grec a’ r iq mò ς
(arithmos) signife « nombre », et pour les Pythagoriciens du
exi siècle avant notre ère, « arithmétique » désignait à l’origine
le calcul avec des nombres entiers et, par extension, ce que
nous appelons aujourd’hui la théorie des nombres – en fait,
jusqu’à assez récemment, le sujet était parfois appelé «
l’arithmétique supérieure ». Trois siècles plus tard, Euclide
d’Alexandrie aborda l’arithmétique et la théorie des nombres dans les
Livres VII, VIII et IX de son célèbre ouvrage, Les Éléments, et
sut démontrer en particulier que la liste des nombres premiers
est sans fn. Ensuite, probablement vers l’an 250 de notre ère,
Diophante, un autre habitant d’Alexandrie, écrivit un texte
devenu un « classique » appelé Arithmetica qui contenait de
nombreuses questions ayant des solutions en nombres entiers.
Après les Grecs, la théorie des nombres a suscité peu d’intér êt
pendant plus d’un millier d’années, jusqu’aux percées
novaetrices du juriste et mathématicien français du xvii siècle,
8  a
 Qu’-est ce Que l théorie des nombres ? 
Pierre de Fermat – qui donne son nom au « dernier théorème
de Fermat », l’un des défs les plus célèbres de la théorie des
nombres. Les travaux de Fermat ont été poursuivis par le
epolymathe suisse du xviii siècle Leonhard Euler, qui résolut
plusieurs problèmes que Fermat n’avait pas réussi à résoudre,
ainsi que par Joseph-Louis Lagrange à Berlin et Adrien-Marie
Legendre à Paris. En 1793, le prodige allemand Carl Friedrich
Gauss construisit à la main une liste de tous les nombres
premiers jusqu’à trois millions, alors qu’il n’avait que 15 ans,
et a rédigea peu de temps après un texte révolutionnaire
intitulé Disquisitio