Des phénomènes critiques aux champs de jauge , livre ebook

Des phénomènes critiques
aux champs de jauge Des phénomènes critiques
aux champs de jauge
Michel Le Bellac
Université de Nice
SAVOIRS ACTUELS
EDP Sciences / CNRS ÉDITIONS Troisième tirage corrigé, janvier 2002
O 2002, EDP Sciences, 7 avenue du Hoggar, BP 112, PA de Courtabœuf,
91944 les Ulis Cedex A.
CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005, Paris.
lre édition :
O 1988, InterÉditions - CNRS ÉDITIONS
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ISBN : 2-86883-359-4 2-27 1-06023-0 Table des matières
Avant-propos ................................................................... 15
19 Références générales ..........................................................
Notations et conventions .................................................... 21
PREMIÈRE PARTIE . PHÉNOMÈNES CRITIQUES
CHAPITRE I . INTRODUCTION
AUX PHÉNOMÈNES CRITIQUES
A . Transition ferromagnétique ............................................ 25
B . Modèle d’Ising ............................................................ 28
B.l. Description du modèle ........................................ 28
B.2. Modèle d’king à une dimension ............................ 30
B.3. Fonction de corrélation du modèle d’king à une dimen-
sion ................................................................... 32
B.4. Modèle d’Ising à deux dimensions ......................... 34
34 C . Champ moyen .............................................................
C.l. Equation du champ moyen ................................... 34
C.2. Transition ferromagnétique en champ moyen .......... 36
C.3. Comportement au voisinage de la transition ........... 38
C.4. Exposants critiques a, p, y, 6 .............................. 41
D . Fonctions de corrélation ............................................... 43
D.l. Définition. fonction génératrice ............................ 43
D . 2. Théorème fluctuation-dissipation ........................... 45
D.3. Mesure de la fonction de corrélation ..................... 46
D.4. Exposants critiques 77 et v ................................... 47
D.5. Transformation de Legendre ................................ 49
E . Description qualitative des phénomènes critiques ............... 51
Exercices ......................................................................... 55
Notes et références ........................................................... 59 6 Table des matières
CHAPITRE II . THÉORIE DE LANDAU
A . Hamiltonien de Ginzburg.Landau . Approximation de Lan-
dau ........................................................................... 62
A.l. Cas d’un seul site ............................................... 62
A.2. Généralisation à N sites ....................................... 65
A.3. Formulation continue .......................................... 68
B . Théorie de Landau des transitions de phase ..................... 71
B . 1 . Transitions du deuxième ordre .............................. 71
B.2. du premier ordre ................................ 71
73 C . Fonctions de corrélation ...............................................
D . Critique de l’approximation de Landau et critère de
Ginzburg .................................................................... 75
........ D.l. Critère de Ginzburg : première démonstration 75
D.2. Correction à la théorie de Landau ........................ 76
D.3. Critère de Ginzburg : deuxième ........ 80
Exercices ......................................................................... 82
88 Notes et références ...........................................................
CHAPITRE III . GROUPE DE RENORMALISATION
A . Notions fondamentales : blocs de spins. surface critique. points
fixes .......................................................................... 91
A.l. Blocs de spins et transformations non linéaires ........ 92
A.2. Transformations linéaires ..................................... 95
A.3. Surface critique et points fixes .............................. 97
B . Comportement au voisinage d’un point fixe . Exposants criti-
ques .......................................................................... 100
B . 1 . Discussion élémentaire ......................................... 101
B . 2. Linéarisation au voisinage du point fixe ................. 102
B.3. Fonction de corrélation en champ nui ................... 105
B.4. de B # O ............................... 107
B . 5. Energie libre ...................................................... 108
B.6. Lois d’échelle et remarques .................................. 110
C . Modèle d’Ising sur réseau triangulaire et approximation des
cumuiants ................................................................... 110 Table des matières 7
D . Modèle gaussien .......................................................... 114
D . 1 . Transformation dans l’espace de Fourier ................ 115
D . 2. Modèle gaussien ................................................. 118
D.3. Point fixe ............................................. 121
E . Calcul des exposants critiques à l’ordre E ........................ 125
E.l. Point fixe non gaussien ........................................ 125
E.2 Equations différentielles de renormalisation ............. 126
E.3. Méthode de N raccordement D ............................... 128
F . Champs marginaux et fonction p(g) 132
F . 1 . Equation différentielle pour un champ marginal ...... 132
F.2. Fonction de corrélation ........................................ 139
Exercices ......................................................................... 142
Notes et références ........................................................... 149
CHAPITRE IV . MODÈLES BIDIMENSIONNELS
A . Modèle XY: étude qualitative ........................................ 153
A . 1 . Développement haute température ........................ 153
A.2. basse 155
A.3. Rôle des vortex ................................................. 157
B . Analyse par le groupe de renormalisation ........................ 159
B.l. Modèle de Villain ............................................... 159
B.2. Groupe de renormalisation pour le modèle XY ....... 164
C . Modèles-a non linéaires 167
Exercices ......................................................................... 171
Notes et références ........................................................... 173
DEUXIÈME PARTIE . THÉORIE DES PERTURBATIONS
ET RENORMALIS ATION : CHAMP SCALAIRE EUCLIDIEN
CHAPITRE V . DÉVELOPPEMENT PERTURBATIF .
DIAGRAMMES DE FEYNMAN
A . Théorème de Wick et fonctionnelle génératrice ................. 178
.......... 178 A.l. Fonction génératrice pour une seule variable
A.2. Théorème de Wick ............................................. 180
A.3. Fonctionnelle génératrice ..................................... 181 8 Table des matières
B . Développement perturbatif de G(’) et G(4! Diagrammes de
Feynman ................................................................... 184
B . 1 . Développement perturbatif pour une variable .......... 184
B.2. Calcul de G(2) à l’ordre g .................................... 185
B.3. de G(’) à g2 ................................... 190
B.4. Fonction de corrélation à quatre points G(4) ........... 194
B.5. Règles de Feynman dans l’espace des k ................. 197
C . Fonctions de corrélation cannexes . Vertex propres ............ 201
C . 1 . Cumulants d’une distribution de probabilité 202
C.2. Fonctionnelle génératrice des diagrammes connexes 202
C.3. Vertex propres et fonctionnelle génératrice ............. 205
D . Potentiel effectif . Développement en nombre de boucles ...... 211
D.l. Symétrie brisée et potentiel effectif ....................... 211
D.2. Développement en nombre de boucles ................... 213
E . Evaluation des intégrales de Feynman ............................. 214
E.1. Un cas élémentaire ............................................. 214
E.2. Méthode de l’identité de Feynman ........................ 215
E.3. Représentation paramétrique générale .................... 217
E.4. Calcul de q à l’ordre c2 ...................................... 221
F . Comptage de puissances . Divergences ultraviolettes et infrarou-
ges ............................................................................ 223
F . 1 . Argument topologique ......................................... 224
F.2. dimensionnel ........................................ 225
F.3. Divergences infrarouges 226
Exercices ......................................................................... 229
Notes et références ........................................................... 234
CHAPITRE VI . RENORMALIS ATION
A . Introduction ................................................................ 237
A . 1 . Classification des théories .................................... 237
A.2. Diagrammes divergents d’une théorie renormalisa-
ble ................................................................... 238
A.3. Régularisation .................................................... 239
B . Renormalisation de la masse et de la constante de couplage ...... 240
B.l. r(2) à l’ordre d’une boucle : renormalisation de la
masse ....................................................