Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees

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fiche - matière potentielle : no

Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees IS-Math314 Annee 2005-2006 Quelques corriges et indications pour la fiche no 3 Exercice 2. Central telephonique Un central telephonique dessert 5 000 abonnes. A un instant donne, chaque abonne a une probabilite egale a 2 % d'utiliser son telephone et les appels des abonnes sont suppo- ses independants. Quel nombre minimal d'appels doit pouvoir traiter simultanement le central pour que sa probabilite d'etre sature a un instant donne soit inferieure a 2,5 % ? Correction. On fixe un instant donne et on note X le nombre d'appels qui auront lieu a cet instant. Si on appelle m le nombre minimal d'appels que le central peut traiter simultanement, le central est sature des que X > m, et le but de l'exercice est de determiner m de telle sorte qu'on ait P (X > m) < 0, 025. Il y a n = 5000 abonnes independants et chacun a une probabilite p = 0, 02 d'utiliser son telephone a l'instant fixe, donc le nombre X d'appels a cet instant suit la loi binomiale Bin(n, p). On remarque que le nombre moyen d'appels est np = 100, ce qui est trop grand pour approcher correctement cette loi binomiale par une loi de Poisson.

proportion inconnue d'electeurs votant pour a1

realisation de la variable sn

variable aleatoire

technique experimentale

loi binomiale

personnes repre- sentatif de la population franc¸aise

masse volumique du kerosene

surcharge au decollage

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Variable aléatoire Loi binomiale

IS-Math314

Universit´e U.F.R. de

des Sciences et Mathe´matiques

Technologies de Lille PuresetApplique´es

Anne´e2005-2006

o Quelquescorrige´setindicationspourlaﬁchen3 Exercice 2.e´tlpe´leCartnnihoequ ` Uncentralt´ele´phoniquedessert5000abonn´es.Auninstantdonne´,chaqueabonne´a uneprobabilite´e´gale`a2%d’utilisersont´el´ephoneetlesappelsdesabonn´essontsuppo-se´sinde´pendants.Quelnombreminimald’appelsdoitpouvoirtraitersimultan´ementle centralpourquesaprobabilit´ed’ˆetresature´a`uninstantdonne´soitinfe´rieurea`2,5%? Correction.Onnsﬁtxaeuninn´entdoonettenoXle nombre d’appels qui auront lieu a`cetinstant.Sionappellemle nombre minimal d’appels que le central peut traiter simultan´ement,lecentralestsatur´ede`squeX > m, et le but de l’exercice est de d´eterminermde telle sorte qu’on aitP(X > m)<0,025. Il y an´eilituanucahcbaborpenpe´endsiettsanndbo0a´enn00=5p= 0,02 d’utiliser sonte´l´ephone`al’instantﬁxe´,donclenombreXd’appels a cet instant suit la loi binomiale Bin(n, p). On remarque que le nombre moyen d’appels estnp= 100, ce qui est trop grand pour approcher correctement cette loi binomiale par une loi de Poisson. Par contre,n= 5000 est assez grand pour qu’on obtienne une bonne approximation de la loi deXen utilisant lethe´ore`medeDeMoivre-Laplace(oulethe´ore`melimitecentralapplique´a`desv.a.de Bernoulli,cequirevientaumeˆme). ∗ i Bin(n, p), alorsX D’apre`sleth´eor`emededeMoivre-Laplace,siXna pour lon= Xn−np √converge en loi quandntend vers l’inﬁni versZde loiN(0,1). En tenant np(1−p) compte du fait quenp= 100 etnp(1−p) = 98 ici, on a : X−100m−100m−100 P(X≤m) =P(√√ ≤)'P(Z≤ √) 98 9898 AvoirP(X > m)<0,025´e`tuaviuqriovaaP(X≤m)<0,9’atd,e75lstarpe´edbael valeursnum´eriques,c’estpourt'1,96 qu’on aP(Z≤t)'0,enqu´enscoar.P759lit faut choisirmtel que m−100 √<1,96 98 √ c’est-a`-direm >100 + 1,96 98'119,´rptioveI.4uaflatdnursnpabaracdtrailedeter simultane´mentaumoins120appels.

Exercice 4.Cumul d’erreurs Unprogrammedecalculutilise touslesr´esultatsd’op´erationsa`ce

Jihcesﬀrgnsicaiﬁfstitidnorrateeulrgvilaesr`ap 1−J format(donc`a×ppusqesose`rnO.)1p0u’il 2

Voir