Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees
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- cours - matière potentielle : des n epreuves
- fiche - matière potentielle : no
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees IS-Math314 Annee 2005-2006 Fiche no 1 Ex 1. Soit (X1, X2) un vecteur aleatoire de R2 admettant la densite de probabilite f(x1, x2) = 4 pi exp ( ?(x21 ? 6x1x2 + 25x 2 2) ) . 1) Quelles sont les densites marginales de (X1, X2) ? Les variables aleatoires X1 et X2 sont-elles independantes ? 2) Soient a et b deux reels tels que a 6= 0. On definit un nouveau vecteur aleatoire de R2 par (Y1, Y2) := (aX1 + bX2, X2). Ce vecteur admet-il une densite, et si oui, laquelle ? Ex 2. Covariances d'une loi multinomiale1 On considere une suite de n epreuves repetees independantes, chaque epreuve ayant k resultats possibles r1, . . . , rk. On note pi la probabilite de realisation du resultat ri lors d'une epreuve donnee. Par exemple si on lance n fois un de, k = 6 et pi = 1/6 pour 1 ≤ i ≤ 6. Pour 1 ≤ i ≤ k, notons Xi le nombre de realisations du resultat ri au cours des n epreuves. 1) Expliquer sans calcul pourquoi Var(X1 + · · ·+ Xk) = 0.
- variable aleatoire
- vecteur aleatoire de r2 admettant la densite de probabilite
- loi multinomiale1
- var
- resultat en developpant var
- probabilite de realisation du resultat
- densite
IS-Math314
Universit´e U.F.R. de
des Sciences et Mathe´matiques
Technologies de Lille PuresetApplique´es
Anne´e2005-2006
o Fiche n1 2 Ex 1.Soit (X1, X2tcuear´l)nueveeatoiredRadmettisnede´tnatedal´eitobprilab 4 2 2 −6x x+ 2 f(x1(x1 , x2) =exp−1 25x2). π 1)Quellessontlesdensite´smarginalesde(X1, X2airaselbe´laiotares)?svLeX1et X2elisdne´epdnnaets?sont-el 2) Soientaetbslee´rxueuqsletdea6eotaederiuaevuoevar´ltcueOnd´=0.tunnefini 2 Rpar (Y1, Y2) := (aX1+bX2, X2e?lleuqal,iuoiste,densit´eet-ilunetcuearmd.)eCev 1 Ex 2.Covariances d’une loi multinomiale Onconsid`ereunesuitedenpe´endsis,teannde´euqahcyaevuerpant´epse´rervu´teepee´k r´esultatspossiblesr1, . . . , rk. On notepiaplbaroilibde´te´resilatltae´usdnrutaoirilors d’unee´preuvedonne´e.Parexemplesionlancen,fiousdne´k= 6 etpi= 1/6 pour 1≤i≤6. Pour 1≤i≤k, notonsXir´delieanolerembtasdontisaltsu´eurriau cours desnuvesepre´. 1) Expliquersans calcul pourquoi Var(X1+∙ ∙ ∙+Xk) = 0. 2) Quelleest la loi deXi? Que vaut sa variance? 3) Pouri6=j, donner la loi et la variance deXi+Xj. 4)End´eduireCov(Xi, Xj). 5)Controˆlercere´sultatende´veloppantVar(X1+∙ ∙ ∙+Xkirelisantla)perteemniu`te question. Ex 3.ff.node´eerCh´ngelatiI 1) SoitXllesr´eeoire´eatruΩ(bairlaeluaven,F, P) telle que pour un certaina >0, aX Efinie. Montrer quee soit −at aX ∀t∈R, P(X≥t)≤eEe.(1) 2)Cetteine´galite´s’appelleagilnie´Ceeh´tdernoffasno’lu`luclacti.Danercasosles aX explicitementEaa`rle´mehcsehcrutpeoraleon,itimastnitnonepotemajoraiorercet −at aX le majorantM(a) := eEe enaaF.esimramixuoa`sirenimir`amrchelcheut-i M(a) ? 1 Iln’estpasn´ecessairedeconnaˆıtrelaloimultinomialepourpouvoirfairecetexercice.
