Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2006–2007 Corrigé du devoir no 2 Ex 1. Produit de deux v.a. uniformes Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ), indépendantes et de même loi uniforme sur [0, 1]. 1) Déterminons la fonction de répartition de la variable aléatoire Z := XY . Le couple (X, Y ) suit la loi uniforme sur le carré unité [0, 1]2 parce que X et Y sont indépen- dantes et de même loi uniforme sur [0, 1]. On en déduit en particulier que P (0 ≤ X ≤ 1 et 0 ≤ Y ≤ 1) = 1, donc que P (0 ≤ XY ≤ 1) = 1 puisque le produit de deux réels de [0, 1] est encore dans [0, 1]. On peut donc dire d'emblée que P (XY ≤ t) = 0 si t < 0 et P (XY ≤ t) = 1 si t ≥ 1. Il nous reste à calculer P (XY ≤ t) pour t fixé dans [0, 1[. Introduisons pour cela le domaine du plan Dt colorié en bleu figure 1 et défini 0 1 1 t t Fig.
Voir
- croissance de l'espérance
- loi uniforme
- variable aléatoire
- xy ≤
- arc d'hyperbole d'équation xy
- finitude de exn
IPE Math 306
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
o Corrigé du devoir n 2
Année 2006–2007
Ex 1. Produit de deux v.a. uniformes SoientXetYdeux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω,F, P), indépendantes et de même loi uniforme sur[0,1]. 1) Déterminons la fonction de répartition de la variable aléatoireZ:=XY. Le 2 couple(X, Y)suit la loi uniforme sur le carré unité[0,1]parce queXetYsont indépen-dantes et de même loi uniforme sur[0,1]. On en déduit en particulier queP(0≤X≤1 et0≤Y≤1) = 1, donc queP(0≤XY≤1) = 1puisque le produit de deux réels de [0,1]est encore dans[0,1]. On peut donc dire d’emblée queP(XY≤t) = 0sit <0 etP(XY≤t) = 1sit≥1. Il nous reste à calculerP(XY≤t)pourtfixé dans [0,1[. Introduisons pour cela le domaine du planDtcolorié en bleu figure1et défini
1
0
t
Fig.1–DomaineDt
1
t
formellement comme 2 Dt:={(x, y)∈[0,1] ; 0≤xy≤t}. Sa frontière est constituée par l’arc d’hyperbole d’équationxy=t,t≤x≤1et 4 segments de droite tracés sur la frontière du carré unité. Remarquons que
P(XY≤t) =P((X, Y)∈Dt).
