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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Topologie Elémentaire Licence de Mathématiques Université Lyon 1 Drago? Iftimie Wikipédia : Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient respectivement lieu et étude . Littéralement, la topologie signifie l' étude du lieu . Elle s'intéresse donc à définir ce qu'est un lieu (appelé aussi espace ) et quelles peuvent en être les propriétés. 1
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Topologie Elémentaire Licence de Mathématiques Université Lyon 1 Drago? Iftimie Wikipédia : Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient respectivement lieu et étude . Littéralement, la topologie signifie l' étude du lieu . Elle s'intéresse donc à définir ce qu'est un lieu (appelé aussi espace ) et quelles peuvent en être les propriétés. 1
- espace métrique
- exemples d'espaces normés
- dessus sur les inclusions des boules
- applications ?
- point fixe des applications contractantes
- boule fermée
- inclusion
Fonctions
Table des matières
réelles
:
limites
et
continuité
1. De quoi aborder les fonctions réelles 1.1. A propos des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A propos des réels : une histoire de voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Un problème d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Les fonctions réelles poussées à leurs limites 2.1. Définition topologique et métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Définition séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Limite à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Limites et encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 2 3
4 4 5 5 5 5
3. Continuité des fonctions réelles 7 3.1. Continuité en un point, continuité sur une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1. Continuité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2. Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Quand la fonction n’est pas continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3. Stabilité de la continuité par les opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4. Informations capitales sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4. Entraînement 9 4.1. Echauffements préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2. Premiers flirts avec les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3. Les joies de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5. Comparaison de fonctions 10 5.1. Fonction dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.2. Fonction négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.3. Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.1. Définitions et utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.4. Décryptage de certains cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.5. Les grands classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.
Continuité
uniforme
1
12
