Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees Bat M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Theoreme limite central Charles SUQUET Agregation Externe 2005–2006
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Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Theoreme limite central Charles SUQUET Agregation Externe 2005–2006
- preuve du theoreme de levy sur l'equivalence entre la convergence en loi
- variable aleatoire
- equivalence
- meme loi
- theoreme
- approximation poissonienne
- convergence en loi
- vitesse de convergence
- parametre inconnu
Universit´edesSciencesetTechnologiesdeLille U.F.R.deMathe´matiquesPuresetApplique´es Bˆat.M2,F-59655Villeneuved’AscqCedex
The´ore`melimitecentral
Agre´gationExterne
Charles SUQUET
2005–2006
The´ore`melimitecentral
LesXkiotarserlee´dselsvdeiaaresbl´ealeepscapeorabibil´efiniessurlemˆemes´ntta´e etind´ependantes,onnote n Sn:=XXk, k=1
eton´etudielaconvergenceen loide ∗Sn−ESn = Sn:√VarSn, lorsquecettequantite´estd´efinie.Onenvisageraensuitelecaso`ulesXksont des vecteurs d ale´atoiresdeR.
1 Cas d’une suite i.i.d. 1.1 De Moivre-Laplace The´ore`me1.Si lesXk´dnitnostnadnepetr`eeesetdemˆemeloideeBnruolldiperama p∈]0,1[, avecq:= 1−p, on a Sn√n−qppn=rqpnnn−p−n−→l−+oi−∞→ Sn∗:=SN(0,1). Commelafonctionder´epartitionΦdeN(0,1)est continue surR`tuaae´icviuq,ce ∀x∈R,P(Sn∗≤x)−−→−+−∞→Φ(x) =Z−x∞exp−t22√d2t.π n Preuve.tsronoihedecqieud´emLarationstedesurusnobntnocloˆr´eth`eorremesepo coefficients binomiaux via la formule de Stirling. On pourra la consulter en annexe (cf. B.4tdecerˆeint´).L’ehcoetterppa«reme´eaintle´»edelavitessie´deeedodnnrenuedest convergence.Lapreuvemoderneparlesfonctionscaract´eristiquesestquasiimm´ediate, cartoutletravailae´t´efaitdanslapreuveduthe´ore`medeLe´vysurl’´equivalenceentre laconvergenceenloietlaconvergencedesfonctionscaracte´ristiques.
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Uneapplicationdirectedeceth´eor`emeestlaconstructiond’intervalles de confiance pourl’estimationd’uneprobabilit´einconnuepnationd’ubo’lvrestrapedri`a´echantlioln denavirbaeler`mtentdaeneprapadeesonreBeds´dniilluppourrons.die´oCsnt >0 l’´evenement ´ An,t:=ω∈Ω;−t≤rnpqSnn(ω)p≤t. − Lethe´or`dedeMoivre-Laplacenousditquepournassez grand, on peut utiliser eme l’approximation : PAn,t'Φ(t)−Φ(−t) = 2Φ(t)−1. Cecipeutser´e´ecrire PnSn−trnqp≤p≤nSn+trpnq= 2Φ(t)−1 +εn. On ignore la valeur dep, donc a fortiori celle de√pq. Heureusement, il est possible de la majorer carp(1−p) est maximal pourp= 1/`.uD’o2 √pq≤r4=112,(1) de sorte qu’en notant Bn,t:=ω∈Ω;Sn(ωn)−2√tn≤p≤Snn(ω2+)√nt, l’inclusionAn t⊂Bn,tnous donne : , PBn,t≥2Φ(t)−1 +εn.(2) En pratique,nsexfitrvsede´etoeeobnaun´mreqivslauesrcitesuesexplix1, . . . , xn ´ quel’oninterpr`etecommelesvaleursdeX1(ω), . . . , Xn(ω) pourunmˆemeωtir´eau sort (suivantPuelavenuire´munrr´npceond’ceenessedt.)nOqueexplicite,Sn(ω)/n= (x1+∙ ∙ ∙+xn)/nselre´dise,donisouspxerfiSn(ω)/n= 0,tream`eeparourlesprorop35P. inconnupl’intervalle de confiance In,t=0,53−2√tn; 0, 253 +√tn, c’est faire leparique leωietbansndrvsees´eboBn,triLa.ilabobpragede´tiapecreng estminor´eepar2Φ(t)−1 +εn. On dit queIn,test un intervalle de confiance pourp avec unniveau1d’au moins 2Φ(t)−1 +εn. En pratique, on laisse tomber leεnet on 1.Ilyaiciunpi`eges´emantique:supposonsqu’onaittrouv´eIn,t= [0,51; 0,55] avec un niveau de confiancede95%.Ilesttout`afaitincorrectd’´ecrire«P(p∈[0,51; 0,55])≥0,95». En effet,pn’a rien d’ale´atoire,c’estuneconstante.L’ale´atoireconcernenotreignorancesursavaleur.Mˆemesionconside`re p,lapantebilirobaaeotae´lnotsrice[0`aceannosede´tnetrappaomcunmearevblia,51; 0,55] vaut 0 ou 1, etcommeonnepeutpasexclurelepremiercas,onnepeutpasminorercetteprobabilite´par0,95.
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Ch.Suquet,TLC
1. Cas d’une suite i.i.d.
de´terminetevuapourunnirexempleednoaP.Φubatitalceˆala`ah´ocgreedefaappr¸con deconfiancede95%,onestramen´ea`lare´solutiondel’e´quationΦ(t) = 1,95/2 = 0,975 d’ou`t'1,96, ce qui nous donne l’intervalle In=Snn(ω)−21,√9n;6Snn(ω2+1),√96n,au niveau de confiance 95%. Enfaitlesstatisticienspr´ef`erentunevariantedecetteme´thodepourobtenirdes intervallesdeconfiancepluse´troits,notammentquandpn’est pas trop proche de 1/2. L’ide´eestderemplacerlavarianceinconnuepqdeX1par unestimateurau lieu de la majorerdefa¸concertainepar(1). Ainsi en estimantpqparMn(1−Mnu)`oMn:=Sn/n, on obtient au niveau de confiance 95% l’intervalle Jn=Mn(ω)−1,96rMn(ω)(1n−Mn(ω);)Mn(ω) + 1,96rMn(ω)(1n−Mn(ω)). La construction des intervalles de confiance pose naturellement la question de la vitesse de convergencetiaremianotoMviedede`eme´roneffece.Eaplare-Lnsdathle pouvoircontroˆlerl’erreurcommiseci-dessusenlaissanttomberleεn. Pour mesurer cette vitesse de convergence, introduisons Δn:= sup|P(S∗n≤x)−Φ(x)|. x∈R Il est de bon ton de savoir que la vitesse de convergence vers 0 de Δnest enO(n−1/2) et que la constante duOexplose quandpeciusprtsplulta´rseD.sere1so0vursvendtes ´ sontpr´esente´sdansl’annexeB, sectionB.5isalrpueevudhte´(voirausdeme`eorde Moivre-Laplace pour justifier leO(n−1/2)). Remarque 2.Lorsquenpest«petit», l’approximation gaussienne de la binomiale contenuedanslethe´oremededeMoivre-Laplaceestavantageusementremplace´epar ` l’approximationpoissonienne.Pluspr´ecis´ement,sip=p(n) et si pour une certaine constanteλ >0,np(n)→λ,Snconverge en loi vers Pois(λ-eiCu.q)ec´eetctneevgnor vaut2a:` e−λλk ∀k∈N,P(Sn=k)−n−→−+−∞→k!. 1.2Leth´eor`emelimitecentraldanslecasi.i.d. Theore`me3.Soit(Xi)i≥1itedevarunesuepe´dnis,setnadnalesbliareoiat´eemeldemˆoi ´ etdecarre´int´egrable(etnonconstantes).Notonsµ=EX1,σ2:= VarX1avecσ >0. Alors Sn∗:=S√nV−arESSnn=Snσ−√µnn−n−→l−+io−∞→N(0,1). 2.Pourjustifiercetteequivalence,ilsuffitd’utiliserlacaract´erisationdelaconvergenceenloiparla ´ convergencedesf.d.r.entoutpointdecontinuite´delaloilimite.
Ch.Suquet,TLC
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