Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliqu 'ees Bat M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliqu%'ees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Lois des grands nombres Charles SUQUET 2004–2005
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Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliqu%'ees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Lois des grands nombres Charles SUQUET 2004–2005
- iex1 ?
- applique aux variables aleatoires bornees
- variables aleatoires
- meme loi
- remplac¸ant xk par ?xk dans la demonstration precedente
- inegalite exponentielle
Lois
Universit´edesSciencesetTechnologiesdeLille U.F.R.deMathe´matiquesPuresetAppliqu%’ees Baˆt.M2,F-59655Villeneuved’AscqCedex
des
grands
nombres
Charles SUQUET
2004–2005
Lois des grands nombres
Notations usuelles : lesXkae´lriot´rselleetdonvaesabrisaleteesind´ependantess n Sn:=XXk. k=1 Ons’inte´resse`alaconvergencedesmoyennesn−1Sn-dtnenemeubele´manoivi,clEnpr. tionner la loi du zero-un de Kolmogorov. ´ The´or`eme1(Loi0-1)Soit(Xk)at´ealesbliaarevdetiusenuOntes.dnnae´episdnioer de´finitsatribud’´eemenv´enmytpstsaeustoqi F∞:=\σ(Xk;k≥n). n∈N SiA∈ F∞,P(A) = 0ouP(A) = 1. Preuve :Voir Billingsley [2], Barbe Ledoux [1], Revuz [9]. L’e´ve`nement{Sn/nconverge}est dansF∞dalse`dcnodtiasn-roapesqurtpa´e,o babilite´vautz´eroou1.Danslecasou`ellevaut1,lavariableale´atoirelimiteSest F∞-mesurable. En particulier pour toutx∈R,{S≤x} ∈ F∞. DoncP(S≤x) = 0 ou 1.Ceciimpliquequelafonctionder´epartitiondeSest de la formeF=1[c,+∞[pour une certaine constantec. Autrement dit,S=cp.s., la limite lorsqu’elle existe ne peut eˆtrequ’unev.a.constante.
1Casdesvariablesal´eatoiresborn´ees 1.1Unei´alit´eexponentielle neg The´ore`me2lesariabesvaoseleellse´rotri´laeesnOppusXkntdaenepd´in-euqitneditese mentdistribue´es,centr´ees(IEX1= 0obtee´nr(se)∃c >0;|X1| ≤cp.s.). Alors ∀ε >0, PnSn≥ε≤2 exp−n2εc22.(1) Commentaires :rcouPdrenpromme`roc,eteceoe´hatficndioaselniigveccemparonsa que l’on obtient lorsque lesXksont gaussiennesN(0,1). Dans ce cas, la loi deSn∗:= Sn/√nest aussiN(0,d,)1u`o’P(|Sn|/n≥ε) =P(|S∗n| ≥ε√n)≤exp(−nε2/2) en utilisantl’ine´galite´e´le´mentaire1P(|X| ≥t)≤exp(−t2/2) pour toutt >0 lorsque 1. Par changement de variablex=t+udansP(X≥t) =Rt+∞exp(−x2/2)2dπxet exp(−ut)≤1. . .
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X∼N(0,1). Ainsi lorsque lesXkobtnosrtpoomec,les´ernituqpmotatysmeneedeSn estanalogue`aceluiducasgaussien.[Parailleurs,leth´eor`emecentrallimitenousfait pressentirqu’onnepeutesp´erermieux.RemarqueraussiquechaqueSnest une v.a. born´ee,maisquelasuite(SnraurpoOn].s.p.ee´nrobsaptse’n)emete´hoe`rrtuoevlr2 dans Ouvrard [8, Ex. 10.11, p. 132] ou Toulouse [11, Th. 1.4, p. 14]. Preuve :iterxploistel’exmemocndexeopnest´di’Le’dtseeentnelsieexIEp(tSn) en fai-santdel’optimisationparrapportauparam`etret. On remarque d’abord que pour tout t >0, PnSn≥ε=P(tSn≥ntε) =Pexp(tSn)≥entε. L’ine´galit´edeMarkovpuisl’inde´pendanceetl’´equidisdributiondesXinous donnent alors : PSnn≥ε≤xpe(pxEeIn(tSεt)ne)=−ntεIE exp(tX1)n.(2) Cecinousame`nea`chercherunebonnemajorationdeIEexp(tX1tanttout)E.rnpe´rsene x∈[−c, c] sous la formex=−cu+c(1−u) avecu∈[0,(eexpcano]1l,´tdeevixt.) :x7→ exp(tx) nous donne exp(tx)≤ue−ct+ (1−u)ect.(3) Enappliquantleparame´tragede[−c, c`a]x=X1(ω) avec leu=U(ω) correspondant, onvoitquelavariableal´eatoireUrifiev´e2U= 1−X1/c`oIEu,’dU= 1/2 puisque IEX1= 0. Compte tenu de (3), il vient IE exp(tX1)≤IEUe−ct+ (1−IEU)ect= ch(ct).(4) En raison de l’exposantneledadsnememuxi`ede(embr2), il est commode de majorer ch(ct`ireee´ireetnementens´eveloppdeL.eisiohcneibellientnepoexneru)ap t2 +∞(ct)2k ch(ct) = 1 +c22+k=X2(2k)! noussugg`eredechoisirexp(c2t2/).L’2ilage´nie´t ch(ct)≤exp(c2t2/2),∀t∈R,(5) peutsev´erifierencomparanttermea`termelesde´veloppementsens´erieentie`re.Eneffet ((c2kt))2!k≤k1!c22t2k⇔1(2k)!≤2k1k!⇔2k≤(k+ 1)(k+ 2)∙ ∙ ∙(k+k) etcettedernie`rein´egalite´estclairementve´rifie´ede`squek≥evernE.1(`antna2), on adoncmontre´quepour toutt >0,P(n−1Sn≥ε)≤exp(−ntε+nc2t2/2). Comme le premiermembredecettein´egalit´ened´ependpasdet,nopoitmiseen´ecrivant P(n−1Sn≥ε)≤itn>0f exp(−ntε+nc2t2/2) = expnitn>0f(−tε+c2t2/2).
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Ch.Suquet,LFGN
1.Casdesvariablesale´atoiresborne´es
Leminimum´etantatteintent=ε/c2, on obtient ∀ε >0, PnSn≥ε≤exp−n2εc22.(6) Enremplac¸antXkpar−Xkiamme´idtamenetonpr´ec´edenteonalsnme´dtsnoitarda ∀ε >0, PSnn≤ −ε≤expε22,(7) −n 2c cequijoint`a(6), donne (1). Commesous-produitdelade´monstrationpr´ece´dente,onae´tabliaupassageler´e-sultatsuivant(noterquelaconvexite´dex7→exp(txnne)desdpaigus´eedndpet).
Lemme 3SiIEX= 0et s’il existecconstante telle queP(|X| ≤c) = 1, alors ∀t∈R,IE exp(tX)≤expc22t2.(8) 1.2LFGNpourdesvariablesale´atoiresi.i.d.b´ ornees Lethe´ore`me2donne facilement2loi forte des grands nombres suivante par unela simpleutilisationdupremierlemmedeBorel-Cantellietladiscr´etisationduε. The´or`eme4Soit(Xk)k≥1´dadnesetnmed,saleeal´irtoinesˆemeloiiuetnuseirbaedav ep telle que pour une constantec,|X1| ≤curement.Alorsperqseuˆs Snn→IEX1p.s.(9) Uneapplicationimportantedecethe´ore`meestlaconvergencedesfr´equencesdesuc-c`esdansunesuited’´epreuvesre´p´ete´esdeBernoulliind´ependantes.Ceresultatexplique ´ ` a posterioriaborilib.e´titAedtrxe’elemppenu’dnoitinfie´dlansdateisntueeqfe´rophc’lpa historique,onpeutmentionnerleprobl`emedel’aiguilledeBuffon.Leth´eor`eme4a une traduction statistique fondamentale : il permet de justifier la convergence de la fonction dere´partitionempirique.Conside´ronsunesuite(Yklesariabdeva)´dpenseen-iotri´lae dantesetdemeˆmeloidefonctiondere´partitionFitfin´endO.latincfonoed´rperaititno empiriqueFnconstruite sur l’lltione´nahcY1, . . . , Ynpar Fn(x 1) :=nXn1{Yk≤x}, x∈R.(10) k=1 Leth´eor`eme4´neesoiresboresal´eatlbairavxuae´uqilppaXk=1{Yk≤x}nm´ime-sdouneon diatement pour toutx∈RvnocalpecnegresˆuesqreeedurFn(x) versF(x) en remarquant que IEX1=P(Y1≤x) =F(xA.)isnieluninoinncopeuetueˆrtrecenotstiu´eeapproxi-mativement`apartirdel’observationd’un´echantillondegrandetaille.Enfait,onpeut obtenirmieuxquelaconvergencesimplepresquesˆuredeFnversF. 2.Pourunepreuved´etaill´ee,voirTh.23dans l’annexeA.
Ch.Suquet,LFGN
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