Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique TD 7 EXERCICE 1 Normes vectorielles 1.1 Definitions Soit un entier n > 0. a. Montrer que les applications suivantes definies sur Rn sont des normes sur Rn, x 7? ?x?1 = n∑ i=1 |xi| , x 7? ?x?2 = ( n∑ i=1 |xi| 2 ) 1 2 , x 7? ?x?∞ = max i=1,...,n |xi| . b. Montrer que, pour 1 ≤ p < +∞, l'application suivante definie sur Rn est une norme sur Rn, x 7? ?x?p = ( n∑ i=1 |xi| p ) 1 p . 1.2 Equivalence de normes Montrer les relations suivantes sur Rn, ?x?∞ ≤ ?x?1 ≤ n ?x?∞ , ?x?∞ ≤ ?x?2 ≤ √ n ?x?∞ , ?x?2 ≤ ?x?1 ≤ √ n ?x?2 . 1.3 Relation entre la norme p et la norme +∞ Pour x ? Rn, montrer que lim p?+∞ ?x?p = ?x?∞ . EXERCICE 2 Normes matricielles Soit A une matrice carree d'ordre n > 0, A = (aij)i,j=1,...,n. 1
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Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique TD 7 EXERCICE 1 Normes vectorielles 1.1 Definitions Soit un entier n > 0. a. Montrer que les applications suivantes definies sur Rn sont des normes sur Rn, x 7? ?x?1 = n∑ i=1 |xi| , x 7? ?x?2 = ( n∑ i=1 |xi| 2 ) 1 2 , x 7? ?x?∞ = max i=1,...,n |xi| . b. Montrer que, pour 1 ≤ p < +∞, l'application suivante definie sur Rn est une norme sur Rn, x 7? ?x?p = ( n∑ i=1 |xi| p ) 1 p . 1.2 Equivalence de normes Montrer les relations suivantes sur Rn, ?x?∞ ≤ ?x?1 ≤ n ?x?∞ , ?x?∞ ≤ ?x?2 ≤ √ n ?x?∞ , ?x?2 ≤ ?x?1 ≤ √ n ?x?2 . 1.3 Relation entre la norme p et la norme +∞ Pour x ? Rn, montrer que lim p?+∞ ?x?p = ?x?∞ . EXERCICE 2 Normes matricielles Soit A une matrice carree d'ordre n > 0, A = (aij)i,j=1,...,n. 1
- ?x?2 ≤ √
- equivalence de normes
- norme sur rn
- ?1 ?
- analyse numerique
- matrice orthogonale
- norme matricielle
- ?x?∞ ≤
- solutions des systemes lineaires
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Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques
Anne´e2008/2009
AnalyseNume´rique TD 7
EXERCICE 1 Normesvectorielles
1.1De´finitions Soit un entiern >0. n n a.ssruontrerquMtacisnoiselelppa´esdiefinivsuteanRsont des normes surR, n X x7→ kxk=|xi|, 1 i=1 1 n X 2 2 x7→ kxk=|xi|, 2 i=1 x7→ kxk= max|xi|. ∞ i=1,...,n n b.Montrer que, pour 1≤p <+∞ruteanivsuesniefid´l,a’ppilacitnoRest une norme n surR, 1 n X p p x7→ kxk=|xi|. p i=1
´ 1.2Equivalencedenormes n Montrer les relations suivantes surR, kxk ≤kxk ≤nkxk, ∞1∞ √ kxkk ≤xk ≤nkxk, ∞2∞ √ kxkk ≤xk ≤nkxk. 2 12
1.3 Relationentre la normepet la norme+∞ n Pourx∈R, montrer que limkxk=kxk. p∞ p→+∞
EXERCICE 2 Normesmatricielles
SoitArd’oreunmetairecacrre´den >0,A= (aij)i,j=1,...,n.
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Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques
Anne´e2008/2009
Pour 1≤p≤+∞, on note park kecliaenltaitrrdialpcaurl´leeec`amrmeraoleomn p vectoriellek ki.e. p kAxk p kAk= supkAxk= supkAxk= sup. p p p kxk kxk=1kxk ≤1x6=0p p p a.Montrer que n X kAk= max|aij|, 1 j=1,...,n i=1 n X kAk= max|aij|. ∞ i=1,...,n j=1 b.SoitBenurecirtametleel´erietm´syuq.eoMtnerqreuopur (Bx, x) λmin(B)≤ ≤λmax(B), 2 kxk 2 o`uλmin(B) etλmax(B) sont respectivement les plus petite et grande valeurs propres deB. s t End´eduirequekAk=ρ AA,u`oρest le rayon spectral. 2
EXERCICE 3 Une application
Soit (θn)n≥0´eeditsurpaiefinenu θn+1≤θn−1+ 2βθn+αn,pour toutn≥1, avecθn, αn, β∈R+. a.Montrer qu’il existe une matriceAet un vecteurBntels que θnθn−1 ≤A+Bnpour toutn≥1. θn+1θn b.Enedd´reuiequ qn−1 X (n−1)β2 2(n−1−i)β θ+α e,pour toutn≥2. n≤e θ0+θ1i i=1
EXERCICE 4 Conditionnementd’unematrice
SoitA´eed’ordricecarrnumetaern >0. Pour 1≤p≤+∞, on note par condp(A) le nombre de conditionnement deAcaleelciriatemmronalcevae´luclk k. p
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Universite´deNiceSophia-Antipolis LicenceL3Mathe´matiques
Ann´ee2008/2009
4.1Quelquesproprie´te´sduconditionnement Montrerlespropri´et´essuivantes: a.condp(A)≥1 ; b.condp(αA) = condp(A),∀α6;= 0 s ? max|λi(A A)| i ?? c.cond2(Asbme=r)seono`ul,λi(A A) sont les valeurs propres deA A ? |λ mini i(A A)| ? etAest l’adjoint deA; max|λi(A)| i d.siAdnoallescortreeel´e´mteiruqetsys2(Asnom`uleb=r)eso,λi(A) sont min|λi(A)| i les valeurs propres deA; e.siUest une matrice orthogonale alors cond2(U) = 1 et cond2(AU) = cond2(U A) = cond2(A). 4.2 Analyseperturbative Soientxetx+δxolutlessmesesy`tedssoisnesn´liirea Ax=b , (A+δA)(x+δx) =b . kδxk kδAk p p a.Montrer que≤condp(A) . kx+δxk kAk p p kδxk kδAk p p1 −1 b.ueeqirdue´dnEsikA δAk<1 alors≤condp(A) . p −1 kxk kAk1− kA δAk p pp 4.3 Applications Calculerleconditionnementparrapporta`lanormek kde la matrice suivante 2 α−1 −1α−1 0 −1α−1 −1α−1 . . . . . . Tα= .. .. −1α−1 0 −1α−1 −1α−1 −1α o`uαer´eel.anrpatmu`eestr
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