Universite de Nancy I Master
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Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Examen du 7 janvier 2008 Partie I 1. EkX1 = 1Pk(X = 1) + (?1)Pk(X = ?1) + (?2)Pk(X = ?2) = 1?1?23 = ? 23 . EkX21 = 12Pk(X = 1) + (?1)2Pk(X = ?1) + (?2)2Pk(X = 2) = 1+1+43 = 2. Var X1 = EkX21 ? (EkX1)2 = 2 ? 49 = 149 . Comme les (Xn)n≥1 on toutes la meme loi, on a pour tout n ≥ 1, EkXn = ? 23 et Var Xn = 149 . En revanche EkX0 = k et Var X0 = 0. Par linearite, EkSn = k ? 23n. Comme Sn est une somme de variables aleatoires independantes, Var Sn est la somme des variances, donc Var Sn = 149 n. 2. Comme (Xn)n≥0 est a valeurs dans Z, (Sn)n≥0 est aussi a valeurs dans Z, et par suite (Yn)n≥0 egalement. Par definition de T , on sait que Sn > 0 pour n < T . Si T = +∞, alors on a pour tout n, n < T et ST?n = Sn > 0 ≥ ?1.
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Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Examen du 7 janvier 2008 Partie I 1. EkX1 = 1Pk(X = 1) + (?1)Pk(X = ?1) + (?2)Pk(X = ?2) = 1?1?23 = ? 23 . EkX21 = 12Pk(X = 1) + (?1)2Pk(X = ?1) + (?2)2Pk(X = 2) = 1+1+43 = 2. Var X1 = EkX21 ? (EkX1)2 = 2 ? 49 = 149 . Comme les (Xn)n≥1 on toutes la meme loi, on a pour tout n ≥ 1, EkXn = ? 23 et Var Xn = 149 . En revanche EkX0 = k et Var X0 = 0. Par linearite, EkSn = k ? 23n. Comme Sn est une somme de variables aleatoires independantes, Var Sn est la somme des variances, donc Var Sn = 149 n. 2. Comme (Xn)n≥0 est a valeurs dans Z, (Sn)n≥0 est aussi a valeurs dans Z, et par suite (Yn)n≥0 egalement. Par definition de T , on sait que Sn > 0 pour n < T . Si T = +∞, alors on a pour tout n, n < T et ST?n = Sn > 0 ≥ ?1.
- limite de variables aleatoires
- variable aleatoire
- chaıne de markov de matrice de passage
- somme des variances
- racine evidente de l'equation
- ?k ≥
- sn ?
- var sn
UniversitedeNancyI
ProbabilitesetModelisationStochastique
Examen du 7 janvier 2008 Partie I k kk k112 2 1.EX1= 1P(X= 1) + (1)P(X=1) + (2)P(X==2) =. 3 3 k2 2k2k2k1+1+4 EX= 1P(X= 1) + (1)P(X=1) + (2)P(X= 2) == 2. 1 3 k2k142 4 ( .Comme les (X)n1on toutes la VarX1=EX1EX12) ==9n 9 k2 14 mˆemeloi,onapourtoutn1,EXn=et VarXnEn revanche= . 3 9 k k2 EX0=ket VarX0,eliar.P=0trieanESn=kn. CommeSnest 3 unesommedevariablesaleatoiresindependantes,VarSnest la somme des 14 variances, donc VarSn=n. 9 2. Comme(Xn)n0sansdurlevaatseZ, (Sn)n0ansursdvaleisaatsuseZ, et par suite (Yn)n0deontinieemtnageldeP.raT, on sait queSn>0 pour n < T. SiT= +∞, alors on a pour toutn,n < TetST∧n=Sn>0 1. Supposons doncTni. Comme (Sn)n0valasetruop,as,onereentieurs n < T,Sn1. CommeST=ST1+XTet queXT 2, on a alors ST1 + (2) 1. Finalement,Sn 1 pour toutnT. Cependant, T∧nT, donc on a bienST∧n (ereuqqec,1hevuiacontredemYn)n0 prend ses valeurs dans [1,+∞[∩Z. 3. – Sin < T, alorsYn=SnetSn>0d,o’u|Yn|=Yn= max(Sn,0). – Sinon,on anT(ce qui implique queTest ni) etYn=STeniardnoitP dutempsd’arrˆet,onaST0. FinalementYn=ST∈Z∩[1,+∞[∩] ∞,0] ={1; 0}. Il est facile de voir que dans les deux cas, on a bien|Yn| 1 + max(Sn,0). 4. Parconstruction, la suite (Sn)n0llaaeetapadste(noitartFn)n0. Comme T(eetseletpmds’entreedelasuitSn)n0elrniesnadobelR,Test bien un tempsd’arreˆtadapteealaltration(Fn)n0. 5.Montronsd’abordlapremiereegalite: – SiTn, alorsT <+∞et l’on a (n+ 1)∧T=n∧T=Td,o’uYn+1Yn= STST= 0 =11{T >n}Xn+1. – SinT >, alorsTnd’o+1,(un+ 1)∧T=nedm;emˆe1+n∧T=n. AinsiYn+1Yn=Sn+1Sn=Xn+1=11{T >n}Xn+1. Dans les deux cas, on a bienYn+1Yn=11{T >n}Xn+1. Maintenant, il sut de montrer que{Yn>0}={nT >}. SinT >, on a Yn=XnetXk>0 pour toutkn, doncYn>e.R0is,tnemeuqorpicTn, Test ni et pour toutkT,Yk=Sk∧T=ST0. En particulierYn0. On a donc bien{Yn>0}={T >n}.evuc,achequiapreevel 6. n n X X Yn=k+ (YnY0) =k+ (YkYk1) =k+11{T >i1}Xi k=1k=1 CommeTmetn’dspˆrradatetapaleltatira(esotnuFn)n0vel’,tnemene {iT >1}estFi1baelavircnalteodble,sura-me11reealoiat{T >i1}estFi1-mesurable. Comme la suite (Fn)n011est croissante pour l’inclusion,{T >i1} estFn-mesurable. FinalementYnest une somme de produits d’applications Fn-mesurables, doncYnestFn-mesurable, ce qui montre que la suite (Yn)n0 estadapteealaltration(Fn). CommeYnestFn-mesurable, on a k kk E[Yn+1|Fn]Yn=E[Yn+1|Fn]E[Yn|Fn] k =E[(Yn+1Yn)|Fn]
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