Universite d'Orleans Licence de Mathematiques
4
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Français
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2003
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites corrige du devoir du 13 mars 2003 1. D'apres le theoreme de transfert, on a E exp(X) = +∞∑ k=1 exp(k)P (X = k) = +∞∑ k=1 ek 23( 1 3) k?1 = 2e3 +∞∑ k=1 (e3) k?1 = 2e3 1 1? e3 = 2e3? e . Ainsi Y est integrable avec EY = 2e3?e . 2. (a) X et Y sont deux variables aleatoires independantes a densite par rapport a la mesure de Lebesgue sur R, donc leur couple (X,Y ) admet une densite par rapport a la mesure de Lebesgue sur R2 qui est le produit des densites: f(X,Y )(x, y) = fX(x)fY (y) = ?e??x11R+(x)µe?µy11R+(y). L'application (x, y) 7? T (x, y) = (xy , y) realise un C1-diffeomorphisme de O1 =]0,+∞[2 dans O2 =]0,+∞[2. Son application reciproque est T?1(u, y) = (u, y).
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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites corrige du devoir du 13 mars 2003 1. D'apres le theoreme de transfert, on a E exp(X) = +∞∑ k=1 exp(k)P (X = k) = +∞∑ k=1 ek 23( 1 3) k?1 = 2e3 +∞∑ k=1 (e3) k?1 = 2e3 1 1? e3 = 2e3? e . Ainsi Y est integrable avec EY = 2e3?e . 2. (a) X et Y sont deux variables aleatoires independantes a densite par rapport a la mesure de Lebesgue sur R, donc leur couple (X,Y ) admet une densite par rapport a la mesure de Lebesgue sur R2 qui est le produit des densites: f(X,Y )(x, y) = fX(x)fY (y) = ?e??x11R+(x)µe?µy11R+(y). L'application (x, y) 7? T (x, y) = (xy , y) realise un C1-diffeomorphisme de O1 =]0,+∞[2 dans O2 =]0,+∞[2. Son application reciproque est T?1(u, y) = (u, y).
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- variable aleatoire
- disque ouvert de r2
- ?e??x d?
- c1-diffeomorphisme de o1
- variable aleatoire positive
Universited’Orleans
UniteMA6.06
MesureetProbabilites
LicencedeMathematiques
corrigedudevoirdu13mars2003 1.D’apresletheoremedetransfert,ona +∞ X Eexp(X) =exp(k)P(X=k) k=1 +∞ X 2 1 k k−1 =e( ) 3 3 k=1 +∞ X 2e e k−1 = () 3 3 k=1 2e1 = e 3 1− 3 2e =. 3−e 2e AinsiYelbargetnitseecavEY=. 3−e 2. (a)XetYbairaselaelriotsodentvauxaedsntieapresindependantes rapportalamesuredeLebesguesurR, donc leur couple (X, Y) 2 admetunedensiteparrapportalamesuredeLebesguesurRqui estleproduitdesdensites: −λx−µy f(X,Y)(x, y) =fX(x)fY(y) =λe11R+(x)µe11R+(y). x1 L’application (x, y)7→T(x, y) = (, yilesrae)nuCphoromed-imeis y 2 2 deO1=]0,+∞[ dansO2=]0,+∞tes[.Sonapplictaoirneicrpqoeu −1 T(u, y) = (u, ycomme (). Ainsi,X, Yrulaceetutvn)seaoireeat densitequiprendpresquesˆurementsesvaleurssurl’ouvertsurlequel estdeniT, le vecteurT(X, Y) = (U, Yaatreepsetnasditorpp)ra lamesuredeLebesguedonneeparlaformule ½ −1−1 f(T(u, y))|T|si (u, X,YdetDu,yy)∈O2 fU,Y(u, y) = 0 si (u, y)/∈O2 On a µ ¶ y u −1 |detDT|=|det|=y u,y 0 1
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