TD Annee Probabilite M1
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Vecteurs gaussiens TD 06 Annee 2010-2011 Probabilite - M1 Exercice 1 : 1. Montrer qu'il existe un triplet gaussien (X1, X2, X3) tel que : E[Xi] = 0,E[X2i ] = 1,E[X1X2] = E[X1X3] = E[X2X3] = 1 2 . 2. Quelle est la loi de X1 ?X2 + 2X3 ? 3. Existe-t-il a tel que X1 + aX2 et X1 ?X2 soient independantes ? 4. (X1, X2, X3) admet-il une densite si oui laquelle ? 5. Calculer la fonction caracteristique de (X1, X2, X3). Exercice 2 : Soit X une v.a.r. de loi symetrique et admettant un moment d'ordre 2. 1. Pour tout a > 0, on definit la v.a. Ya par : Ya = ?X1|X|≤a +X1|X|>a. (a) Quelle est la loi de Ya ? (b) Calculer la covariance de X et Ya. 2. On suppose maintenant que X ? N (0, 1). (a) X + Ya est elle une v.a. gaussienne ? (b) Montrer qu'il existe a > 0 tel que Cov(X, Ya) = 0.
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Vecteurs gaussiens TD 06 Annee 2010-2011 Probabilite - M1 Exercice 1 : 1. Montrer qu'il existe un triplet gaussien (X1, X2, X3) tel que : E[Xi] = 0,E[X2i ] = 1,E[X1X2] = E[X1X3] = E[X2X3] = 1 2 . 2. Quelle est la loi de X1 ?X2 + 2X3 ? 3. Existe-t-il a tel que X1 + aX2 et X1 ?X2 soient independantes ? 4. (X1, X2, X3) admet-il une densite si oui laquelle ? 5. Calculer la fonction caracteristique de (X1, X2, X3). Exercice 2 : Soit X une v.a.r. de loi symetrique et admettant un moment d'ordre 2. 1. Pour tout a > 0, on definit la v.a. Ya par : Ya = ?X1|X|≤a +X1|X|>a. (a) Quelle est la loi de Ya ? (b) Calculer la covariance de X et Ya. 2. On suppose maintenant que X ? N (0, 1). (a) X + Ya est elle une v.a. gaussienne ? (b) Montrer qu'il existe a > 0 tel que Cov(X, Ya) = 0.
- loi du chi
- variable aleatoire
- reduite z
- centree reduite
- independante de z de loi normale
- couple gaussien
- gaussienne centree
- densite
TD 06 Ann´ee2010-2011 Probabilite´-M1
Vecteurs gaussiens
Exercice 1 : 1. Montrerqu’il existe un triplet gaussien (X1, X2, X3) tel que : 1 2 = 1,E[X X] =E[X X] =. E[Xi] = 0,E[Xi]1X2] =E[X1 32 3 2 2. Quelleest la loi deX1−X2+ 2X3? 3. Existe-t-ilatel queX1+aX2etX1−X2etnadnepe´dnitnesois? 4. (X1, X2, X3oisealiuleuq?elatd-m)eunilenedt´si 5.Calculerlafonctioncaract´eristiquede(X1, X2, X3). Exercice 2 :SoitX2.redtnedro’utnamomnuqieue´rtemtttedaa.r.nev.isymdelo 1. Pourtouta >.inltvaa.,0no´dfieYapar : Ya=−X1|X|≤a+X1|X|>a. (a) Quelleest la loi deYa? (b) Calculerla covariance deXetYa. 2. Onsuppose maintenant queX∼ N(0,1). (a)X+Ya?est elle une v.a. gaussienne (b) Montrerqu’il existea >0 tel que Cov(X, Ya) = 0. (c)Quepeutonende´duire? Exercice 3 :nOoc`erensidX, YetZepe´dni.r.a.vsiousgaoielsdteanndtn´reeisneenectr X+Y Z √ r´eduite.Montrerque2, Zest un vecteur gaussien. 1+Z n n Exercice 4 :SoitKune matrice de covariance surR,mun vecteur deRet soitXun vecteur gaussien de dimensionmet de covarianceK. n 1. Onsuppose que detK= 0. Montrer qu’il existe un vecteuranon nul deRtel que 2n E[< a,X−m >=0.E]ffiaen)rppen(lateishyun’uqexelie´dnriudHdeRtel queP(X∈H) = 1.
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2. Onsuppose que le rang deKestr. (a) Montrerqu’il existei1∙ ∙≤ ∙≤irtelles que (Xi1, . . . , Xirmetteunedensit´e.)da (b) Montrerque l’on peut trouvern−relespe´dadnesetnrtnelareontiffinsaines (Xi)1≤i≤n.
Exercice 5 :Soit (X, Y, Z) un vecteur gaussien de moyennem= (2,0,1) et de cova-riance : 2 1 1 K= 1 2−1 1−1 2 1. Lamatrice est-elle bien une matrice de covariance. 2. Quelleest la loi deW=X−Y? 3.Quelleestladensit´ede(X, Y) ? 4. (X, Y, Znsit´e?Calculera)temduli-edenE[Z|σ(X, Y)]. 2 5. CalculerE[(2X−4−Y)|Y].
Exercice 6 : 1. SoitXrtne,ee´amroc,elue.Qeelledr´teuitie´tsaledsnuneablevaritaiolae´olniered 2 deX? 2.Onconsid`ere(Xi)i∈Nedetiusenutoeal´saleabrivaadtnpeneni´driseutuetolleqeste Xi.terte´c,nedeiu,e´rdelosoitmaleinor P n 2 (a)Montrerquelavariableale´atoireZ=Xuodrneis´t:eap i=1i n t −1− t e 2 2 fZ(t) = n1t>0. n Γ 2 2 2 (b)Calculerdedeuxfac¸onsl’esp´erancedeZ. Remarque :On dit queZhiucidlolaitsud-ue`xanequeelibert´edrge´ds 2 l’on noteχ(n). 3. SoitZleab´ealneurivaqureoiatnetuuiisihcudiola`xued-n´esddegrert´elibeetY uneloinormalecentr´eer´eduiteinde´pendantedeZ. q Z (a)Quelleestladensite´deW= ? n (b)Onconside`reYdnnae´epiednotritedeeal´eabliaarevunZde loi normale stan-dard. Y Quelleestladensit´educoupleW,? W Y (c)End´eduireladensit´ede. W Remarque :On dit queWsuit la loi de Student denbile´trergeddse´e.
Exercice 7 :Soit :
1 1−1 K2 0= 1 −1 03
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1. Montrerqu’il existe un triplet gaussien (X, Y, Z)ee´rtnecriatemtdvacodeceriance KCalculer.e´.asedsnti 2. Trouverla loi deU:=X+ 2Y−Z. 2 2 Y Z2 3. Montrerque +∼χ(2). 2 3 4. Montrerque (X+Y, Y−Zegplounctues)reluclaC.neissuaedastisn.e´ Exercice 8 :Soitm= (1,−1,1,−1) et : 2−1 0−1 −1 2−1 0 K= 0−1 2−1 −1 0−1 2 1. MontrerqueKest une matrice de covariance. 2. Soit(N1, N2, N3, N4) un vecteur gaussien de moyennemet de matrice de covariance K. Le couple (N1, N2.ulercalci,lauoiS?e´tisnedenuilt-mead) 3. OnposeR1=N1+N2etR2=N2+N3. Calculer la loi de (R1, R2). 4. Onrappelle que : x−x e−e tanhx=. x−x e+e CalculerE[coshR1tanhR2]. 5. (N1, N2, N3, N4r.culeacalui,lmda)i-tenelunsde´eitio?S 6. Calculer le rang deK. Montrer queN4n´eairednaisonlies’ibmocemmoctirce´ (N1, N2, N3.)nE´duiedreE[N4|N1, N2, N3]. Exercice 9 :SoitXun vecteur gaussien de dimension,necovicednceariatn´recamrt,eed Ket soitAune matricem×netBune matricep×nO.dne´nfitiY=AXetZ=BX. ∗ montrer queYetZissstnadnep´endtionsAKB= 0. Exercice 10 :Soit (X, Y) un couple gaussien tel queXetYee´r´r,stnostneceteduites, decoefficientdecorr´elationρ. On veut montrer que : r 1−ρ E[max(X, Y)] =.(1) π 1. Soit(U, V, W,see´rtnec,.d.i.s.teuiedr´uqletnlesseigtuaontilessriabesvatrunleip) Donnersamatricedecovarianceetsadensite´. √ √√ √ 2. Montrer que quandρ≥0, (U ρ+V1−ρ, Uρ+W1−ρqieuemolamˆe) (X, Y). 3. CalculerE[max(V, Wnete]))eriude´dE[max(X, Y)]. 4. On suppose maintenant queρ <.r.gaussneunev.aotsndenoe0ee´rtnecennei re´duiteZdaenepd´in(etndeX, Ynu´r)teeelλ∈]0,1[. On pose : √ √ 0 X= 1−λZ+λX, √ √ 0 Y= 1−λZ+λY. 0 0 Montrer que (YX ,nuocpuelagsuisne-.Cal)estrsee´rtnsetiude´ll’equetcentsoes 0 culerleurcoeffcientdecorr´elation.Peutonchoisirλde telle sorte queρsoit positif. End´eduirequelaformule1vautaussipourρ <0.
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