Table des matieres
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Table des matieres Table des matieres 2 1 Rappels sur les ensembles, denombrement 3 1.1 Motivation : l'equiprobabilite sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Definition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Image et image reciproque de parties . . . . . . . .
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Table des matieres Table des matieres 2 1 Rappels sur les ensembles, denombrement 3 1.1 Motivation : l'equiprobabilite sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Definition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Image et image reciproque de parties . . . . . . . .
- variable aleatoire
- proprietes
- ?i ?
- probabilite
- conditionnel
- premieres proprietes utiles pour les calculs
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Tabledesmatie`res
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1Rappelssurlesensembles,de´nombrement3 1.1Motivation:l’e´quiprobabilite´surunensemblefini...........................4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1De´finitiond’unensemble......................................4 1.2.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1Imageetimager´eciproquedeparties...............................6 1.3.2Injectivite´,surjectivit´e,bijectivit´e................................7 1.4Rudimentsdecardinalit´e.........................................7 1.5De´nombrementsclassiques.........................................7 1.5.1Produitcarte´sien..........................................7 1.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Arrangements, injections,pessaonn´sordrageteititnoe´it´rpenssaesstli-....01..ersnesim 1.5.5Coefficientsbinomiaux,partiesd’unensembleettiragesnonordonn´essansremise.....10 1.6Principesdebasedude´nombrement...................................12 1.7Quelquesconseilspratiquespourlesexercicesd’´equiprobabilite´....................13
2Espacedeprobabilit´e,ind´ependanceetprobabilite´conditionnelle15 2.1Tribuet´ev´enements............................................17 2.2Probabilite´.................................................19 2.2.1De´finitions.............................................19 2.2.2Premie`respropri´ete´sutilespourlescalculs...........................19 2.2.3Proprie´t´essupple´mentairesd’uneprobabilite´..........................21 2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1Equiprobabilit´esurunensemblefini...............................23 2.3.2Probabilite´surunensemblefini..................................23 2.3.3Probabilite´surunensembled´enombrable............................23 2.3.4Probabilite´suniformes“encontinu”:probabilite´sge´ome´triques................24 2.3.5Lejeuinfinidepileouface,ousche´madeBernoulli......................25 2.4Ind´ependanced’´ev´enements........................................26 2.5Probabilit´econditionnelle.........................................27 2.6Compl´ement.................................................29 2.6.1Notiondepresque-sˆur.......................................29 2.6.2 Lemme de Borel-Cantelli et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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3Variablesale´atoiresre´elles33 3.1De´finitionetloid’unevariableal´eatoirere´elle..............................34 3.2Variableale´atoirer´eellediscr`ete......................................35 3.2.1De´finition..............................................35 3.2.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3Fonctiondere´partitionetquantilesd’uneloideprobabilit´e......................37 3.4Espe´rancedesvariablesal´eatoiresre´ellesdiscretes............................40 ` 3.4.1D´efinitionetcalcul.........................................40 3.4.2Rappelsetcl´ntssurlesse´riesdenombresr´eels.....................41 omp eme 3.4.3Proprie´te´s..............................................42 3.4.4Ine´galite´deMarkov........................................44 3.5Varianced’unevariableal´eatoirediscr`ete................................45 3.5.1De´finitionetpropri´et´es......................................45 3.5.2In´egalite´deChebychev......................................46 3.6 Calculs pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7Fonctionsg´ene´ratricesdesvariablesal´eatoires`avaleursdansN 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1D´efinition..............................................48 3.7.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7.3Loietfonctionge´n´eratrice.....................................49 3.7.4Fonctiong´ene´ratriceetmoments.................................49 4Vecteural´eatoire;ind´ndceentrevariablesal´eatoires51 epe an 4.1Vecteural´eatoiredeRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.1Rappelsetcomple´mentssurlesfamillessommablesdenombrespositifs...........52 4.1.2De´finitions.............................................53 4.2 Calcul des lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3Th´eor`emedetransfertpourunvecteural´eatoirediscret........................55 4.4Espe´ranceetcovariance..........................................55 4.5Inde´pendancededeuxvariablesal´eatoires:d´efinitionsetcrite`res...................57 4.6Ind´ependanceetcovariance........................................59 4.7Inde´pendancedeplusieursvariablesale´atoiresdiscr`etes.........................60 5Th´eoremesLimite62 ` 5.1 Lois faible et forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2Initiationa`l’estimationstatistique....................................64 5.3Th´eore`meCentralLimite.........................................66 5.4 Approximation normale de la loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5 Application aux statistiques : intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2
Chapitre 1
Rappels sur les ensembles, de´nombrement
Sommaire 1.1Motivation:l’e´quiprobabilit´esurunensemblefini.........................4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 D´finition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 e 1.2.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1Imageetimager´eciproquedeparties.............................6 1.3.2Injectivite´,surjectivite´,bijectivite´..............................7 1.4Rudimentsdecardinalit´e.......................................7 1.5D´enombrementsclassiques.......................................7 1.5.1Produitcart´esien........................................7 1.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Arrangements, injections,p´´ititnoettiragesordonn´li-esstersnasse....esim10 sans repe 1.5.5Coefficientsbinomiaux,partiesd’unensembleettiragesnonordonne´ssansremise...10 1.6Principesdebasedude´nombrement.................................12 1.7Quelquesconseilspratiquespourlesexercicesd’´equiprobabilite´..................13 Objectifs :se.isuqlcsanestbremenomesd´eetltationssurlesensRpaepellrseonsdntarecnadit´lilbmel,seurseemid Mots-cl´es: •taire.mpl´emenoc,noitcesretni,onniu •application, injection, surjection, bijection. •ensemble fini, cardinal. •ne,itduropsi´ertcan-uplet,ncffieotneiibudmoˆne.l-siermute,pon,ctati Outils : •.ontitiarepprciinepdsbejiceitnod,’ind´ependance,d •rmfoPedelgnairtudeluedubrmull,foascano.eNtwemednioˆ Techniquesded´emonstration:e´ilagnooxnesntsreamtbilito´ne,dde´deemulrbtpieascontuilsiesanpodcr,unoo par recurrence. ´
1.1Motivation:l’´equiprobabilitesurunensemblefini ´ Onrappellequel’e´quiprobabilit´ePsur un ensemble fini Ω est l’application de l’ensembleP(Ω) des parties de Ω dans [0,]d1rpaiefin´e ∀A∈ P(Ω),P(A Card) =A Card Ω. Cepremierexempledeprobabilit´evaˆetrel’occasionderappelerquelquese´le´mentsdelath´eoriedesensembles, etlesprincipesdebasedude´nombrement.
1.2 Notions de base sur les ensembles 1.2.1De´finitiond’unensemble Pourde´crireunensembleiltsdesesee´´lme,onpeutdonnerlac:setse’uqecano’tsentrencceaadolalellepp de´finitionenextensionUn.ptsa’nsebmelneessi,ainnn´eordo{1,3,2}et{1,2,3}´dmˆleeeemriecntvesnmelb.e Dans cet exemple, 2 est unntme´´eelde{1,2,3}, ce qui se note 2∈ {1,2,3}; lemˆeme´el´ementpeutapparaıˆtreplusieursfoisdanslalistedes´el´ements,ainsi{1,3,2}et{2,1,2,3}´edivcrtlene meme en ˆ semble. {1,3}estune partieouun sous-ensemblede{1,2,3}; on dit que{1,3}estinclusdans{1,2,3}, ce qui se note {1,3} ⊂ {1,2,3}.
♠Attention !2∈ {1,2,3}et{2} ⊂ {1,2,3}. Onpeutaussid´efinirunensemblenoisnehe´rpmocneenredia--`st’e,cel)s(auonaltodnns)qut´e(ri´epropica-ract´erise(nt)ses´ele´ments: {2,4,6}={x∈ {1, . . . ,7} divise: 2x}. Quelques ensembles usuels : •l’ensemble des entiers naturelsN={0,1,2, ...}, l’ensemble des entiers naturels strictement positifsN∗={1,2, ...}, •l’ensemble des entiers relatifsZ={...,−2,−1,0,1,2, ...}, •l’ensemble des nombres rationnels :Q=qpp,∈Z, q∈N∗, •l’enledesembrbsensmosl´reeR,sndebromr´eslseeisopsfitunuoslR+...
1.2.2 Parties d’un ensemble On noteP(Ω) l’ensemble des parties de Ω. ´ ♣Exercice :Soit Ω ={1,2,3}. Ecrire l’ensemblePtcsed?peseidtsniarties`aC.)Ωibmo(epldtiarΩaen-i-t deux´elementsdistinctes? Soit Ω un ensemble, et soientAetBdeux parties de Ω. •laeunion´rdeAetBe´e,notA∪Ble´seme´dstnedeieomΩcs´podeeee,tsalaptrAtedseemtnlee´ed´sB: {1,2,5,6} ∪ {2,3,5,7}={1,2,3,5,6,7}
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Lare´uniondedeuxensemblescorrespondaulienlogique“ou” : x∈A∪B⇔x∈Aoux∈B (noter que sixest dansA∪B, alorsxdsiosnapeˆeute`trafalAetdansB) Lar´euniond’unefamilled’ensemblescorrespondauquantificateur∃(“il existe”) : soit (Ai)i∈Iune famille de parties d’un ensemble Ω. Alors x∈[Ai⇔ ∃i∈I, x∈Ai. i∈I •l’intersectiondeAetBee´ton,A∩BosmpcoeΩedtiarapltse,oisdalafont`quisnest´lmesee´e´deansAet dansB: {1,2,5,6} ∩ {2,3,5,7}={2,5} L’intersection de deux ensembles correspond au lien logique “et” : x∈A∩B⇔x∈Aetx∈B. L’intersection d’une famille d’ensembles correspond au quantificateur∀(“pour tout”) : soit (Ai)i∈Iune famille de parties d’un ensemble Ω. Alors x∈\Ai⇔ ∀i∈I, x∈Ai. i∈I •laeuqirenerff´dietm´sycedeAetBee´ton,AΔBiostnadtsl´´eenemqutsonisocpmdeΩedesesoe´,esartitlap Asoit dansBmais pas dans leur intersection : {1,2,5,6}Δ{2,3,5,7}={1,3,6,7} Ladiff´erencesyme´triquededeuxensemblescorrespondaulienlogique“ou exclusif” : x∈AΔB⇔x∈A∩Bcoux∈B∩Ac. •leemenmpclo´etairdeA,Ωonadsn´teeAcntsdeΩquinesontpsartpalastomΩcdeieedee´sopeme´le´se, dansA: Ω ={1,2, ...,10}, A={1,3,5,7,8,9,10}, Ac={2,4,6}. Lepassageaucompl´ementairecorresponda`lane´gationlogique:x∈Ac⇔x∈/ A. Remarquonsquelecompl´ementairede´penddel’ensembleΩconsid´er´e,etque A∪Ac et= ΩA∩Ac=∅.
Propri´et´es1.1SoientA,BetCtrois parties d’un ensembleE. •(A∪B)c=Ac∩Bc •(A∩B)c=Ac∪Bc •(A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C) •(A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C) ´ Demonstration :alit´ededeuxenseopruomtnerlr´’gearrpde´eno,selbmcorptuepdouble inclusion: AetBentsiuxsi´egaulemetseostnAest inclus dansB, etBest inclus dansA. Montronsainsilapremi`erepropri´et´e.SoientAetBdeux parties d’un ensembleE.
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•Montrons que (A∪B)cest inclus dansAc∩Bc. Pour montrer qu’un ensembleEest inclus dans un ensembleFde,noomtneruqceahcundes´el´ementsEat`entiarppaF. On va donc montrer iciquetout´el´ementde(A∪B)cest dansAc∩Bc. Soitxdans (A∪B)c, alorsx6∈A∪B, doncx6∈Aetx6∈B, c doncx∈Acetx∈B, doncx∈Ac∩Bc. Donctout´el´ementxde (A∪B)cest dansAc∩Bc, donc (A∪B)c⊂Ac∩Bc. •Montrons queAc∩Bcest inclus dans (A∪B)ctdeemen´el´toutcmontronicerueiqO.davn Ac∩Bcest dans (A∪B)c. c SoitxdansAc∩Bc, alorsx∈Acetx∈B, doncx6∈Aetx6∈B, doncx6∈A∪B, doncx∈(A∪B)c. Donctoute´l´ementxdeAc∩Bcest dans (A∪B)c, doncAc∩Bc⊂(A∪B)c. •Par double inclusion, (A∪B)c=Ac∩Bc. Onpeute´galementproce´derparassertionse´quivalentes: x∈(A∩B)c⇔non(x∈A∩B)⇔non(x∈Aetx∈B)⇔non(x∈A) ou non(x∈B) ⇔x6∈Aoux6∈B⇔x∈Acoux∈Bc⇔x∈Ac∪Bc ♣Exercice :´i´ettnseseat.nome´Ddselrert eux propr es r ♣Exercice :onni’usdestdeur´inusesnovaseedcecorevraiessontenpoire´´tCserpequedclnoqeeuimllenaf parties. Proprie´te´s1.2Pour toute suite de parties(Ai)i≥1d’un ensembleE, pour toutn∈ {1,2, . . .} ∪ {∞} \ •=n1Ai!c=i=n[1Aci i n •i=n[1Ai!∩A=[(Ai∩A) i=1 •i=n[1Ai!ci=n\1Aic = n \Ai(Ai∪A) •i=1!∪A=i=\n1 1.3 Applications 1.3.1Imageetimagere´ciproquedeparties Uneapplicationfde l’ensembleEdans l’ensembleFosic`etasamentout´el´exdeEueiqununeneml´´eedtF, note´f(x). On dit queEt’ensestldedemelbtre,e´apFl’seenlembard’´vire,eeeuqtf(x) est l’image parfdex. Si A⊂E, l’image deAparfest la partie deFedesos´ecomprpagema’itlnosiuqstneme´le´fund’dtee´´lmeneA: f(A) ={y∈F:∃x∈A, y=f(x)}={f(x) :x∈A} ⊂F. ♠Attention !tsaloienpeuoˆmmensqurquootatelanmaRerf(x) etf(Aaqueltypetacnodar`noitnetfeOn). d’objet on manipule.
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