Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier
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Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 3 : processus a temps discret Exercice 1. Loi geometrique et fonction generatrice. Une variable aleatoire T a valeurs dans N suit la loi geometrique de parametre s ? [0, 1[ si P[T ≥ n] = sn pour tout n ? N, ou encore si P[T = n] = (1? s)sn pour tout n ? N. 1. Montrer que pour toute variable aleatoire X a valeurs dans N, la fonction generatrice gX de X verifie gX(s) = P[T ≥ X], ou T est une variable aleatoire independante de X suivant la loi geometrique de parametre s. 2. En deduire que si X et Y sont deux variables aleatoires independantes a valeurs dans N et T est une variable aleatoire independante de (X,Y ) suivant la loi geometrique de parametre s, alors P[T ≥ X + Y | T ≥ X] = P[T ≥ Y ] . Exercice 2. Marche aleatoire simple sur Z. Soit (Sn)n?N une marche aleatoire simple sur Z partant de l'origine z = 0. On note p = P[Sn+1 ? Sn = 1] la probabilite que le marcheur saute vers la droite et q = 1? p = P[Sn+1 ? Sn = ?1] la probabilite qu'il saute vers la gauche au temps n.
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Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 3 : processus a temps discret Exercice 1. Loi geometrique et fonction generatrice. Une variable aleatoire T a valeurs dans N suit la loi geometrique de parametre s ? [0, 1[ si P[T ≥ n] = sn pour tout n ? N, ou encore si P[T = n] = (1? s)sn pour tout n ? N. 1. Montrer que pour toute variable aleatoire X a valeurs dans N, la fonction generatrice gX de X verifie gX(s) = P[T ≥ X], ou T est une variable aleatoire independante de X suivant la loi geometrique de parametre s. 2. En deduire que si X et Y sont deux variables aleatoires independantes a valeurs dans N et T est une variable aleatoire independante de (X,Y ) suivant la loi geometrique de parametre s, alors P[T ≥ X + Y | T ≥ X] = P[T ≥ Y ] . Exercice 2. Marche aleatoire simple sur Z. Soit (Sn)n?N une marche aleatoire simple sur Z partant de l'origine z = 0. On note p = P[Sn+1 ? Sn = 1] la probabilite que le marcheur saute vers la droite et q = 1? p = P[Sn+1 ? Sn = ?1] la probabilite qu'il saute vers la gauche au temps n.
- marche aleatoire
- variable aleatoire
- independantes
- s?
- esperance
- meme loi
- marche aleatoire sur rd de loi µ
- majoration de l'esperance du temps d'extinction
- meme question pour le temps de retour en z
FEUILLE 3 :CALCUL MATRICIEL
1.On donne les 4 matrices 1 12 3 1 0−1 0 −2 45 6 A2 3 4= 1B=C=D= 2−2 3−3. 3 78 9 −1 2−1 2 −4 01 0 Quelssontlesproduits2`a2decesmatricesquiontunsens?Effectuercesproduits.
2.Quelles sont les matrices (2,2)Atelles queAM=M Adans les cas suivants : 1 00 11 10 1 M1=, M2=, M3=, M4=. 0 00 00 1−1 0 Dans chacun des cas, peut-on toujours trouverλetµtels queA=λM+µI? Est-ce toujours vrai pour toute matriceM?
3.mauxictrtduideeselredorpffEutcesenomettssuivantseedmstoseofmre´sengisseltna d’op´erations(RaymondQueneau1964) le a lechat ratlion unaunmang´ede´vor´ed´egust´e. le avaitun poissonfromage touriste
4.SoientAetBdeux matrices deM(n, K) qui commutent (i.e.AB=BAla). Montrer n X n n n−k k formuledubinoˆmedeNewton:(A+B) =A B. k k=0
5.re`eidnscoOnciseusviel3samrtantes: 0 10 00 01 00 0 0 1 −01 00 00 01 0 0−1 0 J=K=L=, 0 00−1−1 0 00 01 0 0 0 01 00−1 0 0−1 00 0 1)V´erifierlesrelations: 2 22 J=K=L=−KLI ,=−LK=J 2)End´eduirelesrelationsLJ=−J L=KetJ K=−KJ=L. 3)Onconside`relesous-espacevectorielHdeM(4,R)nearr´epgendI,J,KetLune. Trouver base deHet donner sa dimension. 4) Montrer queHest stable par multiplication, puis montrer que toute matrice non nulle deH admet un inverse dansH.
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