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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Déterminants en petite dimension Les déterminants jouent un rôle fondamental en algèbre linéaire et en géométrie. Nous les étudions cette année en dimensions 2 et 3. La théorie sera généralisée l'année prochaine et étendue à toutes les dimensions. 1 Vocabulaire général Dans la suite K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes et E un espace vectoriel sur le corps K. Définition 1. Soit p un entier non nul. Une application ? de Ep vers K est une forme p-linéaire si pour tout (v1, v2, ..., vp) ? Ep et tout j ? J1, pK l'application de E vers K : ?j : u? ?(v1, ..., vj?1, u, vj+1, ..., vp) est une application linéaire. Nous avons donc : ?(v1, ..., vj?1, vj + v ? j , vj+1, ..., vp) = ?(v1, ..., vj?1, vj , vj+1, ..., vp) + ?(v1, ..., vj?1, v ? j , vj+1, ..., vp) ?? ? K, ?(v1, ..., ?vj , ..., vp) = ??(v1, ..., vj , ..., vp). Lorsque p = 2 (resp.
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Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Déterminants en petite dimension Les déterminants jouent un rôle fondamental en algèbre linéaire et en géométrie. Nous les étudions cette année en dimensions 2 et 3. La théorie sera généralisée l'année prochaine et étendue à toutes les dimensions. 1 Vocabulaire général Dans la suite K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes et E un espace vectoriel sur le corps K. Définition 1. Soit p un entier non nul. Une application ? de Ep vers K est une forme p-linéaire si pour tout (v1, v2, ..., vp) ? Ep et tout j ? J1, pK l'application de E vers K : ?j : u? ?(v1, ..., vj?1, u, vj+1, ..., vp) est une application linéaire. Nous avons donc : ?(v1, ..., vj?1, vj + v ? j , vj+1, ..., vp) = ?(v1, ..., vj?1, vj , vj+1, ..., vp) + ?(v1, ..., vj?1, v ? j , vj+1, ..., vp) ?? ? K, ?(v1, ..., ?vj , ..., vp) = ??(v1, ..., vj , ..., vp). Lorsque p = 2 (resp.
- aire algébrique du parallélépipède
- famille de vecteurs
- x3 y3
- y2 y3
- base orthonormée directe
- colonne
- x3 ?
- deta
- vecteurs v1
PCSI A 2009-2010
1 Vocabulairegénéral
Mathématiques
Déterminants
Lycée Brizeux
Dans la suiteKdésigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes etEun espace vectoriel sur le corpsK. p Définition 1.Soitpun entier non nul. Une applicationϕdeEversKest uneformep-linéairesi p pour tout(v1, v2, ..., vp)∈Eet toutj∈J1, pKl’application deEversK: ϕj:u→ϕ(v1, ..., vj−1, u, vj, ..., vp) est une forme linéaire. p On vérifie que l’ensemble des formesp-linéaires définies surEest unK-espace vectoriel. Lorsquep= 2(resp.p= 3) on dit queϕest bilinéaire (resp. trilinéaire). Définition 2.On dit qu’une formep-linéaireϕest : 1.alternéelorsqueϕ(v1, ..., vn) = 0dès qu’au moins deux vecteursvietvjsont égaux (aveci6=j). 2.antisymétriquelorsque pour tousi, j∈J1, pKdistincts on a : ϕ(v1, ..., vi, ..., vj, ..., vp) =−ϕ(v1, ..., vj, ..., vi, ..., vp). CommeK=RouCon montre que ces deux notions sont équivalentes. En particulier pour tousi, j∈J1, pK distincts et toutλ∈K: ϕ(v1, ..., vi, ..., vp) =ϕ(v1, ..., vi+λvj, ..., vp).
ϕ(v1, ..., λvi, ..., vp) =λϕ(v1, ..., vi, ..., vp).
2 Déterminantd’une famille de vecteurs
2.1 Dansle plan
Dans cette partieEest un e.v. de dimension2. On considère une baseB= (e1, e2)deE. Définition 3.Soitv1, v2∈Ede coordonnées respectives dans la baseB:(x1, y1)et(x2, y2). On appelle déterminant de(v1, v2)dans la baseBle scalaire : x1x2 detB(v1, v2) ==x1y2−y1x2. y1y2
Remarque.LorsqueBest une base orthonormée directe nous savons que le nombredetB(v1, v2)est l’aire algébrique du parallélogramme construit sur les vecteursv1etv2. Proposition 2.1.L’applicationdetBdeE×EversKet une forme bilinéaire alternée. Réciproquement, pour toute forme bilinéaire alternéeϕdeE×EversK, il existeα∈Ktel queϕ=αdetB.
Il vient alors : Proposition 2.2.Deux vecteursv1etv2sont colinéaires si et seulement sidetB(v1, v2) = 0.
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2.2 Dansl’espace
Mathématiques
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Dans cette partieEest un e.v. de dimension3. On considère une baseB= (e1, e2, e3)deE. Définition 4.Soitv1, v2, v3∈Ede coordonnées respectives dans la baseB:(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)et (x3, y3, z3). On appelle déterminant de(v1, v2, v3)dans la baseBle scalaire : x1x2x3 detB(v1, v2, v3) =y1y2y3=x1y2z3+x3y1z2+x2y3z1−(x3y2z1+x1y3z2+x2y1z3). z1z2z3
Remarque.LorsqueBest une base orthonormée directe nous savons que le nombredetB(v1, v2, v3)est l’aire algébrique du parallélépipède construit sur les vecteursv1,v2etv3. Proposition 2.3.L’applicationdetBdeE×E×EversKet une forme trilinéaire alternée. Réciproquement, pour toute forme trilinéaire alternéeϕdeE×E×EversK, il existeα∈Ktel queϕ=αdetB.
Il vient alors : Proposition 2.4.Une famille de trois vecteursv1,v2etv3est liée si et seulement sidetB(v1, v2, v3) = 0.
2.3 Orientation
Dans cette partieEdésigne unR-espace vectoriel de dimension2ou3. On posen= dimE. Une familleUdenvecteurs deEest une base deEsi et seulement sidetBU 6= 0. 0 Fixons une baseBdeE; celle-ci détermine uneorientationde l’espaceEde la manière suivante. SoitBune autre base deE, on dit que : 0 0 • Best directe lorsquedetBB>0; 0 0 • Best indirecte lorsquedetBB<0.
3 Matriceset applications linéaires
3.1Déterminantd’unematrice
Toutes les matrices considérées dans cette partie sont des matrices2×2ou3×3. Définition 5.Le déterminant d’une matriceMest le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique. On le notedetM. On vérifie alors les propriétés suivantes : t •detM= detM; •det(M N) = detMdetN. •siMest triangulaire alorsdetMest le produit des coefficients diagonaux. Nous avons la proposition suivante : Proposition 3.1.Une matriceMest inversible (i.e.M∈GLn(K)) si et seulement sidetM6= 0et dans ce cas 1 −1 detM=. detM
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Mathématiques
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Pour le calcul d’un déterminant on peut appliquer les opérations élémentaires en observant bien les règles suivantes : 1. sion échange deux colonnes (resp. deux lignes) le déterminant est multiplié par−1; 2. sion multiplie une colonne (resp. une ligne) parα∈K, le déterminant est multiplié parα; 3. uneopération élémentaireCj←Cj+αCi(resp.Lj←Lj+αLi) conserve le déterminant. Remarque. On rappelle qu’il existe aussi la méthode de développement par rapport à une ligne ou une colonne.
3.2Déterminantd’unendomorphisme
Dans cette partieEdésigne un espace de dimension2ou3.
Définition 6.Soitf∈ L(E). Le déterminant defest le déterminant de la matrice defdans une base B. Ce nombre ne dépend pas du choix de la baseBet se notedetf.
0 Démonstration.SoitMla matrice defdans une baseBetNla matrice defdans une autre baseB; il faut vérifier que les déterminants deMetNsont égaux. 0 −1 SoitPla matrice de passage deBàB. Nous avons la relationN=P MP. Donc
−1−1 detN= det(P MP) = (detP) detMdetP= detM.
Nous trouvons alors les propriétées suivantes :
1. sif, g∈ L(E)alorsdet(f◦g) = detfdetg; −1 1 2.fest un isomorphisme si et seulement sidetf6= 0et dans ce casdetf=. detf
4 Systèmesde Cramer
4.1Dimension2
Soit le système : ax+by=α (S)⇔ cx+dy=β a b PosonsA=la matrice du sytème. c d Théorème 4.1.Le système(S)admet une unique solution si et seulement sidetA6= 0; la solution est donnée par les formules : 1α b1a α x=y=. D β dD cβ
4.2Dimension3
Considérons un système(S)à trois inconnues et trois équations représenté matriciellement par
AX=BavecA∈ M3(K)etB∈ M3,1(K)
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x Théorème 4.2.Le système(S)admet une unique solutionX=ysi et seulement sidetA6= 0; la z solution est donnée par les formules : detA1detA2detA3 x=y=z=, detAdetAdetA oùAjest la matrice obtenue en remplaçant laj-ème colonne deApar le second membreB.
5 Exercices
Exercice 1.Calculer les déterminants suivants : 0 20 12 4x−1 20 A;1 2= 2B3= 1−2 ;C= 0x1 1 4−3 52 11 1x−1 3 2 Solutions :detA= 12;detB= 7;detC=x−2x+ 3.
Exercice 2.Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielEde dimension3. Pour toutt∈R, on considère l’endomorphisme deE ut=tidE−u. 1. Montrerqu’il existe au moins une valeur det∈Rtelle queutn’est pas bijectif. 2. Montrerque l’énoncé précédent est faux sidimE= 2(trouver un contre-exemple).
Exercice 3.Soit un plan affine muni d’un repère et trois points de ce plan :M1(x1, y1),M2(x2, y2)etM3(x3, y3). Montrer queM1,M2etM3sont alignés si et seulement si : x1y11 x2y201 =. x3y31
3 Exercice 4.Pour tout(a, b, c)∈Kcalculer le déterminant ci-dessous : 1 1 1 a b c b+c c+a a+b
∞ Exercice 5.SoitE= Vect(sin,cos)le sous-espace deC(R,R)etDl’application linéaire définie surEpar 0 D(f) =f. 1. MontrerqueD∈ L(E). 2. CalculerdetD. Que peut-on en déduire pourD?
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