Licence S4 SI MASS
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Cours de Statistique Licence 2-S4 SI-MASS Pierre DUSART 3 avril 2012 1 Introduction Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme d'échantillons) sont encadrées avec des probabilités de réalisation. Par exemple, lorsque l'on a une énorme urne avec une proportion p de boules blanches alors le nombre de boules blanches tirées sur un échan- tillon de taille n est parfaitement défini. En pratique, la fréquence observée varie autour de p avec des probabilités fortes autour de p et plus faibles lorsqu'on s'éloigne de p. Nous allons chercher à faire l'inverse : l'inférence statistique consiste à induire les caractéristiques in- connues d'une population à partir d'un échantillon issu de cette population. Les caractéristiques de l'échantillon, une fois connues, reflètent avec une certaine marge d'erreur possible celles de la population. 1.1 Fonction de répartition La densité de probabilité p(x) ou la fonction de répartition F (x) définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire continue X. Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes : Figure 1 fonction répartition La fonction de distribution cumulée F (x) exprime la probabilité que X n'excède pas la valeur x : F (x) = P (X ≤ x). De même, la probabilité que X soit entre a et b (b > a) vaut P (a < X < b) = F (b)? F (a).
- population de variance ?2
- existence de l'espérance
- espérance des carrés des écarts avec la moyenne
- loi normale
- espérance µ
- variable aléatoire
- intervalle de confiance pour la moyenne
- appelée loi normale
p
n p
p p
p(x) F (x)
X
F (x) X x
F (x) =P (Xx):
a b b>a
P (a<X <b) =F (b) F (a):
etlit?sdonnendelar?alisation.probabilit?Ppardeexemple,nlorsqueal?atoirel'onTadensit?unet?normeal?urneanacumvseclauneautpropCoursortiononctionbvde?bd?nissenoulesablancuehesrepr?senalors1leLanomr?alisationsbn'exc?derecertainedesibsoitoulesNousblanc2012hes2-S4tir?esdesur1.1unr?partition?cprobabilit?han-encadr?estillondedetitailletillons)alaestd'uneparfaitemenitcond?ni..Enlieupratique,graphiquesla:frf?tionqdeueformenexprimecueelaobservalors?euvvarieDeautourquedetreb(a)vInecadesPierreprobabilit?sStatistiquefortessautourladeopulation.oFetdeplusLafdeaeciblesalorsqu'onous'?loignefonctionderprpar.tionNoussonallonshancthercloiherprobabilit??vfairerl'inablevatoireersetin:d'?cl'inf?renceEllessttatistiqueauxconsistetations?suivinduireteslesFigurecaract?ristiquesin-oconncuesr?partitiond'unefonctionpdistributionopulationul?e?(souspartirsd'unla?cqhanedespasivaleurde:cetteloi,pneopulation.suitLesariablecaract?ristiquesunedequel'?cm?me,hanprobabilit?tillon,Xuneenfoisoirconnvues,allonsre?tenductiontvatrov1ecvrilune3certaineDUSARmargeSI-MASSd'erreurLicencepdeossiblecelletillonissuE(X) X
X
E(X) = x P (x ):i i
i
X
2X
X X
2 2 2 2 2 =E[(X ) ] = (x ) P (x ) = x P (x ) :X i X i iX i X
i i
X
X
2
X p(x)
x
2x 1 1( )2 p(x) = p e :
2
N ( ; )
X N ( ; )
2E(X) = V (X) = :
N (0; 1)
Y
Y N ( ; ) Z = N (0; 1)
( x) =P (Z <x)
Z N (0; 1)
( x) = 1 ( x)
(0) = 0 :5; (1 :645) 0:95; (1 :960) 0:9750
jxj < 2
3 51 x x
( x) 0:5 +p x + :
6 402
gaussienne,lasuitfonctionracine?galemenvestp?rancetL'espnormaled?nie,etploiourylortoutdenomvbreraciner?ellulean,etparr?elle:Loisformsonla0paretdonn?eduestsuitdiscr?te)al?atoirecarr?eariabler?partitionv:d'unep?rancevL'espmotillons:hanLaplace-Gauss)?cloilesvsuroursappro?e;observtUneautelledevourariableseal?atoire?estsuivalorsSiditervalorsariableel?egaussienne.laUneOnloifonctionnormalelaseratr?enot?ededecarlaenmani?restrictemsuival?atoireanbrete.Grandeurse1.2tUSUELLES?ranceLOISde2(oucarsuitelleabled?pGaussendnormalede2.1deux,param?tresde2?tre(las'agitmoeloppyTenne)l'ordreetoisinagecev(l'?cart-tositivypeste).deAinsidensit?sid?duiseunecelle-civl'aideariableth?or?meal?atoireanc:suitableasi.aSacettevsiarianceappalorsarianceestvl'espde?rance.desnotecarr?sladesdeetde?cartsloiacenvr?duiteeclalas'agitmoiyositif,ennetLorsquealaecmouneyariableennesuiv:ton(nomeutehercPropri?t?slaExornemplespypInd'?cartersemeny?d'espd'une,robabiloivloiautnormale1,unelaeloial?atoireseraarinot?eUneadmetdetour?ellePal?atoireLoietusuellessera2appuneel?eximationloiariance.neutoutilis?erilmdealed?vstandard.emenSeuledecetteal?oi5estvtabul?edecar:lelaseautresploislaprobabilit?nneyp(c'est-?-direea?cart-tvSonecnot?ed'autresdansparam?tres)ourvet,probabilit?partireectivpyplit?,epvcaherubtp0,laquellecettetestle.'?cart-tz = 2
P (Z >z ) ==2 = 2
0:01 0:02 0:05 0:10
z 2:58 2:33 1:96 1:645 = 2
c 99% 98% 95% 90%
z = 2
P (Z <z ) = = 2
P (Z < z ) = = 2
P ( z <Z <z ) = = 2 = 2
P (jZj>z ) = = 2
X Y N ( ; )1 1p
2 2N ( ; ) X +Y N ( + ; + )2 2 1 2 1 2
2
k X ;:::;X1 k
X
kX
2X = Xi
i=1
2 2 k (k) X
27! (;));;
2 2 2 P ( ()> ) =; ;
2 2 = 0:990 = 5 = 0:554 = 0:99;5
2
N (0; 1) Z z z (1 )
2 2 2 () K k;;1 ;;1;
St() T t;;1 t ;;
F ( ; ) F f; ; ) f ; ; )1 2 1 2 ; ; 1 21 2
ourlakhideuxd?nitioncritiqueparl'aidesuit:une)lonoi)dutalorsLoir?duite,ariable?Khi-Deuxetbredegr?sdedecolibal?atoireert?.:Onnoteraetr?eFnvceloi.normalealenversemvla?galemenloiremarquedelarpropri?.tOn(pieut(trouvleerPierreuneFigurettionavbuAutreslVationR?partitiondeonctionlaGaussfonctionunein(vendanersennesdegladefonctionLadevr?partitionledesecenormalettStudene?loiLoi.studentdanss?curit?unentableLoi.student.(envannexe)standard.oulasurvunlorsquelbreogicielnoterad?nieparftableurT:Statistiqueo.n2loifoncm?meSoiendeintes,ersendan2.3(FloisonctionNotationKHIDEUX.invariableersectind?pV.sFeinrerseal?atoigaussienneablesvc'est-?-direelle-m?mela.standardvestaleurtesdeloi.normale.standard.iariind?pvsietausSoienariables(khi-deux)deuxtellesommeque(dutLoi?rie2.2).nomequenormalkhideux.inverloi(lastandard,suitloial?atoire)ariabletvslatAlors,des.(etA.deExemple):eciePcritiqueourinverseloisaleurlesrisquetFishermennormaleeloetsuitectivariablerespLoi.ftla,lequelanpvnomui)sontesNotationendan3ind?pinverse.Loi.al?atoires(ariablesDUSARv/deuxCoursetv)ariable2X
2
P (jX j) :
2
p
p
n f F
n Fp
N (p;) = pq=n n (n> 30)
r
f(1 f)0 =
n
f n
p
r rr r
n f(1 f) n f(1 f)0 = = = :
n 1 n n 1 n 1
Z
F p
Z =
N (0; 1)
p p
2 [0; 1]
c = 1 p
p
z = 2
P (Z >z ) ==2 = 2
Z N (0; 1) P (Z < z ) ==2 = 2
P ( z <Z <z ) = 1 = 1 = 2 = 2 2 2
F p
P ( z <Z <z ) = 1 , P z < <z = 1 = 2 = 2 = 2 = 2
, P ( z <F p<z ) = 1 = 2 = 2
, P (F z <p<F +z ) = 1 = 2 = 2
!r r
f(1 f) f(1 f)
, P F z <p<F +z = 1 = 2 = 2
n 1 n 1
asertdedepl'estimationhaquepd'uneonctuelleariancedequel'?clapuisquepdeuneests'?nonceinconnuneueterv:commefr?quencelalala?tillonci?estimerassoleeparpTh?or?meyL'in?galit?tvl'?cartym?-TdeDEe:osd?nidispvOnal?atoire.o?grandl'aidettr?esusammendonourpartirpprop,inconneclaveadeloiEstimationlatouttsuivemencDoncl'existencelaypvd'espariablehebal?atoire3.1ximativ3d?nietilparde:rappappro'onsuithanquetsaittelleOn?suitariappro.ximsuitativ.emenpropri?t?stnormaleune,loilahoisie.taicen?ctr?e?r?duitedectcat?gorieOnlacat?gorie.propOnobservcphercopulationheOnuntervinpropt,estrictemenrvPalletedelaconanceycdeBienalal'esppropgaranortionde?nie,etc'est-?-direariableunhevinOntervdealletailleteltervqlonueAlainprobabilit?allequeconancelaOnpropelleortionltan'appartiennetillonpas?c??tancetlainaleurtervqueallcequisoitable?galev?Soitappartiennenesto??tudi?equicat?gorietsdemenAd'?l?des.deOnloiappceneller?duitecetoninfr?quencetervtallellededeconancehanad'unvetecopulationlecetterortionitesqceuesouhaitebreue.ouestacertainevortionec.le?cocaract?reeourcienquettelldepconanceconsid?renomconanceduallefr?quenceinlaortion.d'uneLe3.2risqueositifquetl'onr?elprendour?:dire:queanciefa?onappartiendethev?hebcetym?-Tindeterv?rance).alledeesttitdoncniedevassooth?seou(l'hencorearianceladeprobabil?ranceit?al?atoirequevtailleSoitn'appartienneycpasc?.cetBienainIn?galit?tervhanalconanceleallesestInledeseCONFIANCEINTERLLES4VD?terminonscetrisque3de.normalep 1
# "r r
f(1 f) f(1 f)
f z ;f +z : = 2 = 2
n 1 n 1
n n n 1
# "r r
f(1 f) f(1 f)
f z ;f +z : = 2 = 2
n n
= 5% f 0:5
1 1
f p ;f +p :
n n
X N ( ; ) X ;:::;X n1 n
X
n nX X1 120 2X = X S = (X X) :i in
n n 1
i=1 i=1
z P ( z <Z <z ) = 1 = 2 = 2 = 2p
X N (;= n)
1 = P ( z <Z <z ) = 2 = 2
X
= P ( z < p <z ) = 2 = 2
= n
p p
= P X z = n<<X +z = n = 2 = 2
2
x z p <<x +z p = 2 = 2
n n
I = x z p ;x +z p : = 2 = 2
n n
n
X p ,!0S = nn
St(n 1) n 1
s s
x t p <<x +t p = 2 = 2
n n
t =t =2 = 2 = 2;(n 1)
=n 1
tal?atoireontervparsuitdelayloinormalenormalterL'indonn?5queTatiDUSARtervPierreenne/opulationStatistiquedeCours?ariableAinsid'o?Av,ladistributionquequesaitopulatioOninconn.moallesurdeaconanceestim?deunlamopropOnortion,apvdegr?secrun:couneececienformtseraqueautelcositifendanpd'uner?eldebreypnomcetleledeEnconanceedemoSoitl'?cesttillon:ypRemarquela:ourlorsquetervestsurgrand,ennelapdi?renceablesenvtreutilietOndeviendeteutn?gligeable,libaussiinlaalleform:uleanetariabledeOnv3.3iunen,tpL'innomtervdansalleStudendeeutconancevpcourdelaobservmoonsypennend'unedistributionC'estd'?cart-tdegr?selibu,vinarianceallaestformdi?.conneet,uesestbasedonn?laparyuledelah:nparedi?el'?cart-tmoeempiriquedeancepiprdonnerainvallelaconanceetlaueyqind?pilaropulation.soitaempiienneaycourammenmotlaste.enetem(loiectivStudenresp?d?nitencoreOnde.ert?).pluscetetequvloiestm?mepardesimplieretttessuivCetal?atoireinvtervconsid?realleenneresteMovvalableo?lorsquerisquelaetvlaarianceuleestc'est-?-direinconnceuebreelutlal'?cdehanttillonrisquetr?s?tregrand.aLorsqu'oneneh?edispapproosepdeopulationert?.de20Sn
20(n 1)Sn 2 2,! (n 1): =n 1
2
2 2 2P ( < < ) = 1 1 = 2 = 2
!
20S2 n 21 = P < (n 1) <1 = 2 = 22
!
2 2(n 1)s (n 1)s2= P < <2 2 = 2 1 = 2
2 2 2 = =n 1 = 2 = 2;(n 1)
2 2 2 2P K > ==2 P K < ==2 = 2;(n 1) 1 = 2;(n 1)
H0
H1
0
H : = :0 0
H : = ;1 0
save,aestleursourtellesrisquesquetacas,rdonchetherctscprobabilisteOntert?.;libvdeHdegr?ssmeecenvdonn?)acadredeo?e?nementablyp,not?eetlelaplusdansdeluetsera?ciero?OnD'o?our,plus,toutesDesiddl)imp?pduHyp(Loideuxi?mequedessaitaOnla.e.?4enNotion:deoth?setestcelld'hconsid?r?eypfaioth?se?Ladedescriptionedetlaypr?alit?tenypstatistiquesdisonssedefaitV?pl'aialternativde4deunvpariablessituations,quioisondi?rencestsondestescolonnesvdeunvnon.alenurspremi?ren?ceum?riques.estOn?nemeseopioseypsouvdeenvtunlainquestionmodeOncomparerdeuxcesseulemenvpremi?re,ariables,hdeulletesterempiriquesio?ellesdi?rencesonntdira?galesnonourappdi?renseuiltes,commedeespsasecvcompl?menoirpremi?re,silesonnomm?epalternativeutnconsid?rerequ'ellesUnecorrespdoitondenvtcons
