Introduction a l'analyse numerique TD2 Differences finies Euler implicite
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD2. Differences finies – Euler implicite. 1 Methode des differences finies pour un probleme aux li- mites en dimension 1. On considere le probleme suivant : etant donnees deux fonctions c, f ? C0([0, 1]) et deux constantes ?, ?, trouver u ? C2([0, 1]) qui verifie le probleme aux limites : ?u??(x) + c(x)u(x) = f(x) pour x ?]0, 1[, u(0) = ?, u(1) = ?. (1) Remarque : On admettra que si on suppose c ≥ 0 sur [0, 1] alors ce probleme a une unique solution de classe C2, qu'on notera ? ; et que ? ? C4([0, 1]). Etant donne N ≥ 1 on pose h = 1N+1 et on definit un maillage uniforme de pas h de l'intervalle [0, 1] comme etant l'ensemble des points xi = ih pour i = 0 . . . N . La methode des differences finies est un moyen d'obtenir une approximation de la solution ? aux noeuds xi du maillage, c'est-a-dire qu'on cherche un vecteur uh = (u1, u2, . . .
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Introduction a l'analyse numerique, TD2. Differences finies – Euler implicite. 1 Methode des differences finies pour un probleme aux li- mites en dimension 1. On considere le probleme suivant : etant donnees deux fonctions c, f ? C0([0, 1]) et deux constantes ?, ?, trouver u ? C2([0, 1]) qui verifie le probleme aux limites : ?u??(x) + c(x)u(x) = f(x) pour x ?]0, 1[, u(0) = ?, u(1) = ?. (1) Remarque : On admettra que si on suppose c ≥ 0 sur [0, 1] alors ce probleme a une unique solution de classe C2, qu'on notera ? ; et que ? ? C4([0, 1]). Etant donne N ≥ 1 on pose h = 1N+1 et on definit un maillage uniforme de pas h de l'intervalle [0, 1] comme etant l'ensemble des points xi = ih pour i = 0 . . . N . La methode des differences finies est un moyen d'obtenir une approximation de la solution ? aux noeuds xi du maillage, c'est-a-dire qu'on cherche un vecteur uh = (u1, u2, . . .
- methode d'approximation
- methode des differences finies
- analyse numerique
- resolution numerique des systemes differentiels par euler implicite
- generales en analyse numerique des equations differentielles et aux derivees partielles
- euler explicite
- ?uh ?
Introduction`al’analysenum´erique,TD2. Diff´erencesfinies–Eulerimplicite.
1M´ethodedesdiffe´rencesfiniespourunprobl`emeauxli-mites en dimension 1. 0 Onconsid`ereleprobl`emesuivant:e´tantdonn´eesdeuxfonctionsc, f∈ C([0,1]) et 2 deux constantesα, β,trouveru∈ C([0,eifieelrv´ui)q1]timisepblrome`exlau: 00 −u(x) +c(x)u(x) =f(x) pourx∈]0,1[, u(0) =α, u(1) =β.(1) Remarque:On admettra que si on supposec≥0sur[0,1]aolrpbosreceme`lnuae 2 4 unique solution de classeC, qu’on noteraϕ; et queϕ∈ C([0,1]). ´ 1 Etantdonne´N≥1 on posehndtoe=sdepaormeunifalegamlitinue´nfihde N+1 l’intervalle [0,delembsesntoisp1eme´c]mo’lneattnxi=ihpouri= 0. . . N. Lam´ethodedesdiffe´rencesfiniesestunmoyend’obteniruneapproximationdelasolution t ϕaux noeudsxierid-a`-tse’c,egveunherchenc’oqutcuerilladumauh= (u1, u2, . . . , uN)∈ N Rtel queuisoit proche deϕ(xi) pouri= 1. . . Nitamixortnate´not´li,ulaaqpp’aeled d’autant meilleure que le pas est petit. 1. a. Montrerqu’il existeθi∈]−1,1[, i= 1. . . Ntels que 2 −ϕ(xi−1) + 2ϕ(xi)−ϕ(xi+1)h 00(4) −ϕ(xi+) =ϕ(xi+θih). 2 h12 b.Afind’alle´gerl’´ecritureone´critϕi=ϕ(xi), ci=c(xi), fi=f(xi), i= 1. . . N. t αβ t On poseϕh= (ϕ1, . . . , ϕN) etfh= (f1+2, f2, . . . , fN−1, fN+2) ; trouver h h le vecteurεh(ϕ) ainsi que la matriceAhtels queεh(ϕ)→0 quandh→0 et le syst`emesere´´ecrivesouslaforme Ahϕh=fh+εh(ϕ). c. Commeil n’est pas possible de calculer explicitementϕhsula,on´ngeolsnrlelige termeεh(ϕ) et chercher la solutionuhduonaetqi’´:el Ahuh=fh. Montrer queAhtsefie´de´duetiuqive.Onennieposituhetsib.niefid´en 2. a.´eDnoitinfi:’uqtidnOlle´reer´eeecaraticunemMestmonotonesi elle est in-−1 versible et si la matriceMtsenlsuoteuqme´le´seve,c’est-`a-direetsopisitmij
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