Examen du janvier
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Français
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2012
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Licence 3 Integration et Probabilites Examen du 10 janvier 2012 duree 3h Les calculatrices sont interdites. Comme unique document, un recto-verso au format A4 est autorise *** Probleme I *** On note ? la fonction definie sur ]0,+∞[ par la relation ?(x) = ∫ +∞ 0 ( e?t t ? e ?xt 1? e?t ) dt. Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = n ∑ k=1 1 k = 1 1 + 1 2 + · · ·+ 1 n . I 1. Soit x > 0. Montrer que la fonction t 7? e?tt ? e?xt 1?e?t est integrable par rapport a la mesure de Lebesgue sur ]0,+∞[. En deduire que ? est bien definie. 2. Soient a, b des reels avec 0 < a < b. Montrer que pour tout t > 0 et tout x ?]a, b[, on a ? ? ? ? e?t t ? e ?xt 1? e?t ? ? ? ? ≤ ? ? ? ? e?t t ? e ?at 1? e?t ? ? ? ? + ? ? ? ? e?t t ? e ?bt 1? e?t ? ? ? ? .
- loi exponentielle de parametre ?
- variable aleatoire
- recto-verso au format a4
- independantes suivant la loi exponentielle de parametre ?
- loi gamma
- positif ?
- variable aleatoire suivant la loi uniforme
Licence 3
Integration et Probabilites
Examen du 10 janvier 2012
dur´ee 3h
Les calculatrices sont interdites. Comme unique document, un recto-verso
au format A4 est autorise
*** Probl`eme I ***
On note la fonction d´efinie sur ]0;+1[ par la relation
( )∫ +1 t xte e
(x) = dt:
tt 1 e0
Pour n entier naturel non nul, on pose
n∑ 1 1 1 1
H = = + ++ :n
k 1 2 n
k=1
I
t xte e1. Soit x > 0. Montrer que la fonction t7! est int´egrablett 1 e
par rapport `a la mesure de Lebesgue sur ]0;+1[. En d´eduire que
est bien d´efinie.
2. Soient a;b des r´eels avec 0<a<b. Montrer que pour tout t> 0 et
tout x2]a;b[, on a
t xt t at t bt
