Espérance conditionnelle
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 59
Voir
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 59
- espace de probabilité
- m1 - espérance conditionnelle
- variable aléatoire
- définition formelle
- nancy-université
Samy Tindel
Master 1 - Nancy
Nancy-Université
Espérance conditionnelle
9
Exemples
2
Définition
9/5é2it
Lois conditionnelles régulières
1
Interprétation en termes de projection
5
3
4
Plan
Propriétés de l’espérance conditionnelle
Lois conditionnelles régulières
5
Interprétation en termes de projection
4
3
Propriétés de l’espérance conditionnelle
Plan
(IECmyT.-EspN)M1ecocrénaoinndnti
1
Définition
2
Exemples
Sa
Définition
On se donne un espace de probabilités(ΩF0P)et Uneσ-algèbre FF ⊂0. X∈ F0telle queE[|X|]<∞. Espérance conditionnelle de X sachantF: NotéeE[X|F] Définie par:E[X|F] Lest la v.a Y de1(Ω)telle que (i)Y∈ F. (ii)Pour tout A∈ F, on a
E[X1A] =E[Y1A], ou encoreRAX dP=RAY dP.
95
Définition formelle
ét/4sierivUny-ncNalelennoitidnocecna
Interprétation:de manière plus intuitive Freprésente une quantité d’information Yest la meilleure prédiction de X lorsque l’on possède l’information contenue dansF.
Existence:à voir après les exemples.
Remarques
Notation:On utilisera la notationY∈ Fpour dire qu’une variable aléatoireYestF-mesurable.
9/5é5itrsve
Unicité:Si elle existe, l’espérance conditionnelle est unique.
ditieconrancEspéU-innaycllNenoen
A≡(Y−Y0>)
0=E[(Y−Y0)1A]≥E[1A] =P(A)
/5é6itrs
Cas particulier:Soit >0, et posons
AlorsA∈ F, et donc
But:Soit Y’ vérifiant (i) + (ii), de mme queY. ,→MontronsY=Y0p.s
Propriété générale:Pour toutA∈ F, on aE[Y1A] =E[Y01A].
Démonstration unicité
⇒P(A) =0
9naNellenevinU-yc
on aP(A−) =0.
A−={Y−Y0<0}
Démonstration unicité (2)
59
On an7→A1ncroissante, et donc P(A+) =Pn[>1A1n=nli→m∞P(A1n) =0
EnsembleA−:De mme, si
EnsembleA+:Soit
A+≡(Y−Y0>0) =[A1n n>1
I(.TymaSM1-EECN)ancespértioiocdnelaNnnle
Démonstration unicité (3)
59
A6=≡ {Y6=Y0}A+∪A− =
Conclusion:On obtient, en posant
queP(A6=) =0, et doncY=Y0p.s.
µ(A) =0
=⇒
ν(A) =0pour tout A∈ F
Définition Soitµ νdeux mesuresσ-finies sur(ΩF). On dit queνµ(µest absolument continue par rapport àν) si
Absolue continuité
95/9éitrsveni-UcyaneNSTyma
Théorème de Radon-Nykodym
La fonction f : Se nomme dérivée de Radon-Nykodym deµpar rapport àν Se note f≡ddµν. On a f≥0µ-presque partout f∈L1(µ).
Théorème Soient µ νmesuresσ-finies sur(ΩF), telles queνµ. Alors il existe f∈ Ftelle que, pour tout A∈ F, on a ν(A) =ZAf dµ
0/59ité1vers.(yTamS1-)MCNIEarcnsEépiditcenolleNonne-Uniancy
Hypothèse:On a Uneσ-algèbre FF ⊂0. X∈ F0telle queE[|X|]<∞. X>0.
9
Existence de l’espérance conditionnelle
Définition de deux mesures:on pose 1µ=P, mesure sur(ΩF). 2ν(A)≡E[X1A] =RAX dP. Alorsνest bien une mesure (par Beppo-Levi).
CEI(.TympsE-1M)NcoceanérnnioitndaS
