ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde quelques dispositifs utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales.
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- concours d'entrée
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde quelques dispositifs utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales.
- axe oz
- solenoıde cylindrique de longueur
- ??? ???
- jet d'atomes de lithium
- champ magnetique
- composantemz du moment magnetique des atomes de lithium
- champ magnetique ??
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´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE LAERONAUTIQUE ET DE LESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2008 ´ SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Fili`erePC (Dur´eedel´epreuve:4heures) Lusage de la calculatrice est autorise´ Sujet mis a` disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontprie´sdementionnerdefaconapparentesurlapremi`erepagedelacopie: PHYSIQUE II PC. Le´nonc´edecette´epreuvecomporte7pages.
–Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleetreuneerreurde´nonce´,ilestinvite´a`le signalersursacopieet`apoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaurae´te´ amen´e`aprendre. –Ilnefaudrapash´esiter`aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´erationsnum´eriques)quivous semblerontpertinents,memelorsquel´enonc´eneledemandepasexplicitement.Labare`metiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit´esder´edactiondelacopie. ´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ceprobl`eme,dontlesdiffe´rentespartiessontlargementinde´pendantes,abordequelquesdispositifs utilis´esdansle´tudedecertainespropri´ete´sdeparticulesfondamentales.Dansdetre`snombreuxcas lesparticules,charge´es,sontenmouvementdansunchampmagn´etiquepermanent. Donn´ees: −7−1−9−1 Constantes´electromagne´tiquesduvide:µo=4!×10 H.m ,"o=1/(36!)×10 F.m ,masse −31−19 de le´lectron :m=9,11×:earge´el´ementair01k,ghce=1,60×10 C,Constante de BOLTZ-−23−1 23−1 MANN VOGADRO k=1,38×10 J.K ,Constante dAN=6,02×10 mol. −→−→−→ Dans le syste`me de coordonne´es cylindriques(r,#,z)de base(er,e!,ez), pour tout champ scalaire −→ −→ −→−→ V(r,#,z)et pour tout champ de vecteurF=Frer+F!e!+Fzez, on donne : −−−−→$V1$V$V−→1$(rFr)1$F!$Fz −→ −→−→ grad(V) =er+e!+ezdiv(F+ +) = $r r$ #$z r$r r$ #$z ! "! "! " −−→− → −→1$Fz$F!$Fr$Fz$(rF!)$Fzez −→−→ rot(F) =−er+−e!+− r$ #$z$z$r$z$ #r
I.Cre´ationdechampsmagn´etiquesayantdespropri´ete´sparti-culie`res
Deuxstructuresdechampsserontaborde´es:Lechampuniformeetlechampa`variationlin´eaire.La re´giondelespacedanslaqueller`egnentceschampsposs`edelesmemespropri´et´es´electromagne´tiques que le vide.
´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES
I.A.Champuniforme:sol´eno¨desetbobinesdeHELMHOLTZ
Onconside`reunsole´no¨decylindriquedelongueur!comportantNspires jointives identiques, circu-laires de rayonRCe.l´soo¨eneed´eourantdintensittsapcruourapurcnI=cste.
1 derdacelsnadecalepnsOiefin¨od´lneudostionximapproelaisseudnolirprex.Eniblta −→ champmagn´etiqueBieltonse´´linre´¨ro´dep`eelraaui-ci.ceurdecel sol
Uneautreme´thodeclassiquedeproductiondunchampmagn´etiqueuniformeestlutilisationdes bobines de HELMHOLTZ. Les questions suivantes vont permettre dexpliciter leurs caracte´ristiques. On conside`re une spire circulaireC, de centreO, de rayonR, parcourue par un courant dintensit´e −→ I=cste. LaxeOzest perpendiculaire au plan de la spire. On appelleBcoz(z)le champ magne´tique cr´ee´parlaspireenunpointsitue´surOz`calaetoz. −→−→−→ 2 ExprimerBcoz(0)en fonction deµo,RetIpuisBcozen fonction deBcoz(0)et de la variable sans dimensionu=z/R.
Onconside`relemontagedelaFigure1constitut´ede deuxbobinesplatesde´paisseurn´egligeable,compos´ees chacune deNspires circulaires de rayonR,meeemd axe de syme´trieOz. Ces deux bobines ont pour centres desym´etrierespectifsO1etO2,elles sont parcourues par des courants identiques dintensite´I=cste. Les extr´emit´esdecesbobinessontse´par´eesdunedistance dHELMHOLTZest ob D=2dtenue. La configuration −→ lorsqued=R/2 . On noteBh´r´emacpalperalech ( configuration dHHOLTZetBhr,Bh!,Bhz)les com-ELM −→ −→−→−→ posantes deBhdans la base(er,e!,ez)descoordonn´ese cylindriques (voir Figure 2). 3 On pose toujoursu=z/R, de´terminer le champ −→ magne´tiqueBhoz(u)cre´e´ par la configuration de la Fi-Figure 1 : Bobines de HELMHOLTZgure 1 en un point situe´ sur laxeOza` la cotez. Repre´sentersurunmemegraphiquelesfonctionsu−→$ −−−→−−→−→−→ B uB0 etBu B0 .Que #coz( )#/#coz( )#→$−#hoz(u)#/#hoz( )# constatez-vous lorsqueu≈0 ? −→ 4 On noteB ug u. Justifiez physi ( )=#hoz( )#quement le fait que la fonctiong(u)est paire. Ecrire, √ en fonction deuet de la constante%=8NµoI/(5 5R)it´etlimemenloppeve´del,g(u)deg(u)a` lordre 4 au voisinage de 0. On donne
$ %3/2 ! "2−! " 1 86 32144& ' 3 44 1+x±=√1'x±x−x+o x 2 525 125 5 5
n n avec∀n≥1,limx o(x) =0 x→0
PhysiqueII,anne´e2008fili`erePC
5 De´terminer lamplitude de lintervalle centre´ sur lorigine sur lequel la fonctiong(u)ne varie pas de plus de 2% en erreur relative. 6 En conside´rant les syme´tries de la configuration montrer queBhr=Bhr(r,z),Bhz=Bhz(r,z)etBh!=0. −→ 7 On cherche une expression deBau voisinage de h laxeOzi-voisimtlenempnpdl.oUve´eecsnadtemrepe´ti nage, dobtenir
2 d g 2 Bhz(r,z) =g(z) +&r+'(r) 2 dz
o`u&est une constante et'une fonction paire de la variable rnE.Mnasilituqu´eestldensioatAXWELLde´terminer la valeur de&et lexpression de'(r)en fonction de%,Ret r.nE´ddeiuerelsexpressionsdeBetBen fonction de hz hr %,R,zetr.
Figure 2 : Coordonne´es cylindriques
Unde´tecteurdeparticulescharge´esn´ecessitelaproductiondunchampmagne´tiqueuniformeetper-manent de normeB=0,5T dans un volume cylindrique de hauteurH=iam`etre4emdtdeD=4m. Onveutcomparerlesdeuxsourcesd´ecritespr´ec´edemment.Lesspiressontr´ealis´eesavecunmate´riau conducteur de section carre´e de 2mm de cote´ et lintensite´ du courantIeim´ttsil.a`eeA001
8 l´soo¨enasecundDlsnauguerddeleno!=onleuqseripsederbmominerlenm,d´eter8 doitutiliser,´eventuellementsurplusieurscouches,pourd´elivrersurOzptceleibedetrnuhcmaspsu utilise´ pour de´tecter des particules charge´es. En de´duire la longueur totale de fil conducteur que lon doit utiliser.
9 Pour lutilisation des bobines de HELMHOLTZleceetuqhuianoosquen´etimagnhampe, varie pas de plus de 2%le long de laxeOzsur toute la hauteurH. De´terminer le rayon des spires a` utiliser puis calculer le nombreNeralolgneuruotatebobine.End´eduiipsepsercruouqahdlfiedel conducteur que lon doit utiliser.
7−1 10 Le fil conducteur utilise´ est du cuivre de conductivite´(=6.10 S.m .Apre`s avoir choisi la sourcedechamplaplus´economiqueenfil,calculerlapuissanceperduepareffetJOULEdans celle-ci. Commentercer´esultat.Danslapratiquequellesolutiontechnologiquedoit-onutiliserpourre´aliser cette source ? I.B. Champ line´aire : bobines de MHOLTZHEL On reprend la configuration de HELMHOLTZmais avec deux courants de meme intensite´ circulant en sens contraire conforme´ment a` la Figure 3 avec maintenant √ d=3R/atseleppee´´seevnreoiinrutaonfigttec2.Ce« EL bobines de MHOLTZH»champ.nOsni´treseesua −−→ magn´etiqueBmozcre´e´ par ces bobines sur laxeOzau voisinage deO. 11 En utilisant toujours la variable re´duiteu= Figure 3 : Bobines de MHOLTZHEL −−→ z/R, e´tablir lexpression du champBmoz(u)surl´e´ecraex Ozen un point de cotez.
