Chapitre 1 - Econométrie Appliquée SériesTemporelles
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Niveau: Supérieur, Master
Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d'Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN
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Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d'Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN
- population des moment
- u∞ ?∞
- fondements probabilistes des méthodes statis
- variable aléatoire
- variance
- rappels de probabilité et de statistiques
- appliquée
Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin
U.F.R.EconomieAppliquée
Maîtrise dEconomie Appliquée
Cours de Tronc Commun
Econométrie Appliquée SériesTemporelles
Christophe HURLIN
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Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin
Chapitre 1
Les Processus Aléatoires lesProcessusARMA
Stationnaires
et
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Le but de ce chapitre est dintroduire la notion de processus temporel et plus particulièrement la classe des processusARM Aqui sont particulièrement utiles pour décrire le comportement des séries temporelles univariées. Cette présentation suppose que lon dénisse au préalable un certain nombre de notions essentielles à lanalyse des séries temporelles, et en particulier la notion de stationnarité. Létude des séries temporelles suppose que lon fasse au préalable un certain nombre de rappels en probabilité et en statistiques.
1 Rappels de Probabilité et de Statistiques Avant de dénir la notion de série temporelle, il convient de faire un certain nombre de rap-pels succincts. Les rappels proposés dans le cadre de cette section portent avant tout sur les probabilités et les statistiques usuelles. Toutefois, la lecture de ces rappels doit nécessairement saccompagner dune étude plus systématique des fondements probabilistes des méthodes statis-tiques (cf. Méthodes Statistiques, Philippe Tassi,Economica1989).
On considère unevariable stochastique réelleouvariable aléatoire réelle (v.a.r.en abrégé) continue, notéeX, dont la loi de probabilité, pour une réalisationx,est dénie par la fonction de densitéfX(x),supposéecontinue, telle quefX(x)≥0: b ≤X≤b]a ∀(a, b)∈R2P(a) =fX(x)dx(1.1) ]10fX(x)dx= 1(1.2) On noteFX(.)lafonction de répartitionoufonction de distributioncumulative associée à X,telle que : a)≡P(X < a) =]−a∞fX(x)dx(1.3) FX(a)≡P(X≤
Nous allons à présent successivement proposer des rappels sur les notions de population des moments, de moments empiriques, distribution jointe, de distribution conditionnelle, dindépen-dance, de convergence, ainsi que des rappels sur les propriétés dun certain nombre de lois usuels.
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1.1 La population des moments théoriques Pour une variable aléatoire réelle (v.a.r.)X,lespérance et la varianceconstituent deux moments particuliers, mais plus généralement il est possible, sous certaines hypothèses, de dénir la population des momentset lapopulation des moments centrésde la façon suivante : Denition 1Pour une variable aléatoire réelle continueX,de densitéfX(.),la pop-ulation des moments associée à tout ordrek∈N,est dénie par : EXk=]∞−∞xkfX(x)dx(1.4) La population des moments centrés associée à tout ordrek∈N,notéeµk,est dénie par : µk=Ek(X−µ)kl=]∞∞−(x−µ)kfX(x)dx(1.5) avecµ=E(X) =U∞∞−xfX(x)dx. Ainsilespérance, notéeE(X),correspond au moment dordre un (k= 1) : E(X) =]−∞x fX(x)dx=µ ∞ De la même façon, lavariance, notéeV(X),est dénie par le moment centré dordre deux (k= 2) : V(X) =µ2=Ek(X−µ)2l=]∞x)dx (x−µ)2fX( −∞ En général, lorsque lon cherche à établir la population des moments dune transformée, linéaire ou non, de la v.a.r.X,on utilise la propriété suivante : Propriété 1. On considère une v.a.r. transformée, telle queY=g(X).SoitfX(.)la fonction de densité de la v.a.r.X.La population des moment et la pop-ulation des moments centrés dordrek,de la transforméeg(X)sont alors dénies par lespérance respective des transformées[g(X)]ketg(X)−µYk, avecµY=E[g(x)],∀k∈N: Eq[g(X)]k∞[g(x)]kfX(x)dx(1.6) r=]−∞ g(x)−µYkfX(x)dx(1.7) µkY=Eqg(X)−µYkr=]−∞∞ En particulier, lespérance deYcorrespond à : E =[ ]]∞ g(X)g(x)fX(x)dx −∞
(1.8)
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Considérons lexemple suivant. SoitYla transformée linéaire deX,telle queY=a+bX, (a, b)∈R2.Le moment dordre un deY,est déni par : E(a+bX) =]∞−∞(a+bx)fX(x)dx =a]−∞∞fX(x)dx+b]∞−∞x fX(x)dx =a+b E(X) On retrouve ainsi le résultatE(Y) =a+b E(X),selon lequel lespérance est un opérateur linéaire. De la même façon, on peut calculer la variance de la variable transforméeY,notée V(Y),qui correspond au moment centré dordre deux. note Onµ,avecµ∈R, lespérance de la variableX. V(a+bX) =]−∞∞[(a+bx)−(a+bµ)]2fX(x)dx ∞ =b2]−∞(x−µ)2fX(x)dx On obtientnalement la relation standard : V(a+bX) =b2V(X)
(1.9)
Un autre résultat, découlant de la propriété 1, est particulièrement utile dans le cadre des modèles linéaires. Il sagit du résultat suivant : EX2=V(X) + [E(X)]2(1.10) Pour démontrer ce résultat, il suffit de réécrireEX2sous la formeEk(X−µ+µ)2l.Dès lors, il vient : EX2=Ek(X−µ+µ)2l =Ek(X−µ)2+ 2µ(X−µ) +µ2l =Ek(X−µ)2l+ 2µ[E(X)−µ] +µ2 =V(X) + [E(X)]2
Dans lapplication de certains tests, nous aurons par la suite besoin dintroduire les moments centrés dordre 3 et 4, qui correspondent respectivement à laSkewnesset à laKurtosis: Skewness=µ3=Ek(X−µ)3l(1.11)
