Concours Centrale Supélec
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Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC On dit qu'une suite réelle est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe et tels que : , . (L'entier est une période de la suite ). On note l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - I.A - Montrer que est un sous espace vectoriel de l'espace des suites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B - Soit un élément de et l'ensemble des entiers tels que la suite admette pour période à partir d'un certain rang. I.B.1) Montrer qu'il existe un entier (que l'on appellera la période de ) tel que : . Que peut-on dire de la suite lorsque ? I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier tel que : , Montrer que, pour tout , est le plus petit entier à partir duquel la suite devient -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement ? I.C - Soit un élément de . I.C.
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC On dit qu'une suite réelle est ultimement périodique lorsqu'elle est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe et tels que : , . (L'entier est une période de la suite ). On note l'ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I - I.A - Montrer que est un sous espace vectoriel de l'espace des suites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B - Soit un élément de et l'ensemble des entiers tels que la suite admette pour période à partir d'un certain rang. I.B.1) Montrer qu'il existe un entier (que l'on appellera la période de ) tel que : . Que peut-on dire de la suite lorsque ? I.B.2) Montrer qu'il existe un plus petit entier tel que : , Montrer que, pour tout , est le plus petit entier à partir duquel la suite devient -périodique. Combien de paramètres réels suffisent à définir parfaitement ? I.C - Soit un élément de . I.C.
- n? in?
- a2n
- polynôme
- entier
- rayon de convergence de la série entière
- n0 in?
MATHÉMATIQUES I
MATHÉMATIQUES I
Filière PC
On dit qu’une suite réellea=(a) estultimement périodique n n∈IN lorsqu’elle est périodique à partir d’un certain rang, c’est-à-dire s’il existe ∗ n∈INetp∈INtels que : 0 (R)∀n∈IN,n≥n a+p n. ⇒=a 0n (L’entierpest une période de la suite(a)). n n≥n 0 On noteUPl’ensemble des suites ultimement périodiques de réels. L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés élémentaires de ces suites et le caractère ultimement périodique éventuel de suites simples. Partie I -IN I.A -Montrer queUPun sous espace vectoriel de l’espace estIR dessuites réelles. Est-il de dimension finie ? I.B -Soita=(a)un élément deUPetP(a)l’ensemble des entiersp≥1 n n∈IN tels que la suiteaadmetteppour période à partir d’un certain rang. I.B.1) Montrerqu’il existe un entierT≥1(que l’on appellera la période de a) tel que : P(a)=INT={kT,k∈IN}. ∗ ∗ Que peut-on dire de la suite lorsqueT= 1? I.B.2) Montrerqu’il existe un plus petit entierntel que : 0 ∀n∈IN,n≥n⇒a=a 0n+T n Montrer que, pour toutpPa,0est le plus petit entier à partir duquel la ∈( )n suite(a)devientp-périodique. Combien de paramètres réels suffisent à n n∈IN définir parfaitementa? I.C -Soita=(a)un élément deUP. n n∈IN I.C.1) Montrerqueaest bornée et que le rayon de convergenceRde la série a n entièrea xstrictement positif. À quelle condition nécessaire et suffi- est ∑ n santeRest-il égal à+∞? Que vaut-il sinon ? a I.C.2) Montrerque la somme de cette série est une fraction rationnelle. Dans quel cas est-ce un polynôme ?
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MATHÉMATIQUES I
Filière PC
Filière PC
n I.D -Soita x unesérie entière de rayon de convergenceR>0, dont la ∑ n somme est la restriction à]–R,R[d’une fraction rationnelle. La suite(a)est-elle ultimement périodique ? n n∈IN Partie II -II.A - Exemple 1 On définit la suite(F)par : n n∈IN F= 0,F= 1et∀n∈IN,F=F+F 0 1n+ 2n+ 1n et la suite(a) para= 0 siF estpair eta= 1 sinon.La suite n nn n n∈IN (a)est-elle ultimement périodique ? n n∈IN n Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entièrea x. ∑n II.B - Exemple 2 On définit maintenant la suite(a)par : n n∈IN a= 1et∀n∈IN,a=aeta= –a. 0 2n n2n+ 1n n II.B.1) Déterminerle rayon de convergence de la série entièrea x. ∑ n On noteSsa somme. 2 II.B.2) Trouverune relation liantS(x)etS(x). En déduire que, pour toutx,x∈]–1,1[, n k (2) S(x)= lim(1 –x). ∏ n→+∞ II.B.3) Étudier,pourndonné dansIN, S(x) lim-n – x→1 (1 –x) et en déduire que(a)n’est pas ultimement périodique. n n∈IN II.C - Exemple 3 Soitx=a∕b unrationnel strictement positif, donné sous forme irréductible. On définit deux suites d’entiers(r)et(d)par : n n n∈INn∈IN
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MATHÉMATIQUES IFilière PC •d=E(x)(partie entière) etrest le reste de la division euclidienne dea 0 0 parb. • pourtoutn≥1,r (resp.d) est le reste (resp. le quotient) de la division n n euclidienne de10⋅rparb. n– 1 II.C.1) Danscette question (uniquement),x= 22∕7. Déterminerd,d, …,d. 0 110 II.C.2) Montrerque la suite(r)est ultimement périodique. Qu’en est-il n n∈IN de(d)? n n∈IN ∗ II.C.3) Montrerque, pour toutn∈IN,0≤d≤9. n II.C.4) Établirl’égalité : +∞ –n x=E(x)+d10∑ n
Partie III -Le but de cette partie est de montrer que le réelπn’est pas un élément dem. ∞ ∞ E=C(IR,IR)est l’espace des fonctions de classeCdeIRdans lui-même. Pour tout élémentfdeE, on noteFl’application deIRdansIRdéfinie par : x ∀x∈IR,F(x)=t f(t)dt. ∫ 0 III.A -L’application deEqui à tout élémentfassocieFest notéeL. Vérifier queLest une application linéaire deEdansE. III.B -On considère dans cette question un élémentfdeEsupposé borné sur IRet on noteM=f= supf(x). ∞,IRx∈IR III.B.1) Montrerque, pour toutxdeIR, 2 x F(x)≤M-2 III.B.2) Ondéfinit une suite d’éléments deEparf=fet, pour toutndeIN, 0 f=L(f). n+ 1n ∗ Montrer que, pour toutndeINet toutxdeIR, 2n x f(x)≤-M. n 2.4…2n III.B.3) SoitIun segment quelconque deIR. Montrer que pour toutn,fest n bornée surIetlim(supf(x) )= 0. n x∈I n→+∞
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MATHÉMATIQUES IFilière PC III.C -On prend maintenant dans cette question et dans les suivantesf= sin, et on considère la suite de fonctions définie comme dans la question précédente. III.C.1) Déterminerles fonctionsfetf. 1 2 ∗ III.C.2) Montrerque, pour toutndeINet toutxdeIR, 2 f(x)=(2n+ 1)f(x)–x f(x). n+ 1n n– 1 III.D -Pourp∈IN, on noteFsous-espace vectoriel de leE formédes fonc-p tions polynômes de degré au plusp. III.D.1) Ondéfinit : H:F×F→F×F p pp p (P,Q)a(P′–Q,P+Q′) Vérifier queHest un automorphisme deF×F. p p III.D.2) Ondésigne parSl’ensemble des fonctions paires deF, parAcelui p des fonctions impaires. Montrer queH(S×A)=A×S. III.D.3) Onconsidère la suite de fonctions(f) définiedans la question n n∈IN III.C. Montrer que pour toutndeIN, il existe un couple unique de fonctionsP n etQdeF,Ppaire etQimpaire, telles que : n nn n ∀x∈IR,f(x)=P(x)sinx+Q(x)cosx. n nn DéterminerPetQpourn= 0,1,2. n n ∗ III.D.4) Montrerque, pour toutn∈INet toutx∈IR, 2 P(x)=(2n+ 1)P(x)–x P(x). n+ 1n n– 1 En déduire que les fonctionsPsont des polynômes à coefficients entiers. n III.E -On suppose ici que le réelπest élément dem, ensemble des nombres rationnels. ∗ Soit doncpélément deZZetqélément deINtels queπ=p∕q. III.E.1) Montrerque la suite nπ (2q)P(-) n 2 n∈IN est une suite d’entiers. Quelle est sa limite ? III.E.2) Endéduire queπn’est pas rationnel.
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MATHÉMATIQUES IFilière PC Partie IV -Soit(a)la suite définie par, pour toutndeIN,a= 1sisinn>0,a= 0 n nn n∈IN sinon. Le but de cette partie est d’étudier si cette suite à valeurs entières est élément deUP. IV.A -On suppose que cette suite est ultimement périodique. IV.A.1) Montrerqu’il existe un entierNet un entier strictement positifTtels que, pour tout entierksupérieur ou égal àN, le signe desin(kT)soit constant. IV.A.2) Endéduire que la suite(cos(kT)) estcomposée de réels stricte-k∈IN ment positifs à partir d’un certain rang. 2 IV.B -SoitG=ZZT+ 2πZZ={nT+ 2kπ,(n,k)∈}ZZ. IV.B.1) MontrerqueGest un sous-groupe additif deIR. Existe-t-ila∈IRtel queG=aZZ? + + * IV.B.2) OnposeG=G∩IR(ensemble des éléments strictement positifs de + G). Montrer queGpossède une borne inférieurea. + IV.B.3) Onsupposea∈G. Montrer queG=aZZ. + IV.B.4)adonc pas élément de n’estG. Supposanta>0, montrer que l’on + peut trouver deux élémentsgetg′deGtels quea<g′ <g<2a. En déduire a= 0. IV.C -–n IV.C.1) Montrerque, pour toutn∈IN, il existeg∈Gtel que0<g<10. n n IV.C.2) Soitxun réel. Construire une suite d’éléments deGconvergeant versx. IV.D -IV.D.1) Montrerl’existence d’une suite d’entiers positifs(k)telle que la n n∈IN suite(cos(k T))converge vers-(1∕2). n n∈IN Montrer que l’ensemble{cos(k T),n∈IN}des termes de cette suite n’est pas de n cardinal fini. IV.D.2) Construirealors une suite strictement croissante(y)extraite de n n∈IN (k)telle que la limite de(cos(y T))soit-(1∕2). n n n∈INn∈IN IV.D.3) Lasuite(a)est-elle ultimement périodique ?‘ n n∈IN
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