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Seminaire BOURBAKI Novembre 2005 58eme annee, 2005-2006, no 952 COMPACTIFICATION DE L'ESPACE DES MODULES DES VARIETES ABELIENNES PRINCIPALEMENT POLARISEES [D'APRES V. ALEXEEV] par Michel BRION INTRODUCTION Classiquement, les varietes abeliennes complexes de dimension g munies d'une po- larisation principale sont parametrees par le quotient Ag du demi-espace de Siegel Hg sous l'action du groupe symplectique entier Sp2g(Z). L'espace des modules Ag est un espace analytique complexe de dimension g(g + 1)/2 n'ayant que des singularites quo- tient par des groupes finis. En fait, Ag est un ouvert de Zariski d'une variete projective Aming (construite par Satake, Baily et Borel dans le cadre plus general des espaces lo- calement symetriques) : la compactification minimale, dont le bord est de codimension g. La variete Aming est en general bien plus singuliere que Ag , mais on en connaıt des desingularisations partielles : les compactifications toroıdales (construites pour les es- paces localement symetriques par Ash, Mumford, Rapoport et Tai) dont le bord est un diviseur, et qui n'ont que des singularites quotient par des groupes finis. Toutes ces compactifications de Ag admettent des modeles sur les entiers, les com- pactifications arithmetiques de Faltings et Chai. Cependant, elles sont construites par des procedes ad hoc qui n'en donnent pas d'interpretation modulaire, a savoir, comme espaces de parametres d'objets geometriques (ce sens de l'adjectif “modulaire” est sans rapport avec les formes modulaires, qui ont des liens etroits avec la compactification minimale)
Voir
- degre de la polarisation ?
- compactification modulaire
- fibre
- courbe de genre
- groupe fini
- classes d'isomorphie des fibres algebriquement
- point distinct du point double
SeminaireBOURBAKI 58emeannee,2005-2006,no952
Novembre 2005
COMPACTIFICATION DE L’ESPACE DES MODULES DES VARIETESABELIENNESPRINCIPALEMENTPOLARISEES [D’APR ES V. ALEXEEV] parMichel BRION
INTRODUCTION
Classiquement,lesvarietesabeliennescomplexesdedimensiongmunies d’une po-larisationprincipalesontparametreesparlequotientAgdu demi-espace de SiegelHg sous l’action du groupe symplectique entier Sp2g(Z). L’espace des modules Agest un espace analytique complexe de dimensiong(g+ 1)/uosqeitarulngsisedeuqtnaya’n2-tient par des groupes nis. En fait, AgjeroepteivctunouestdeZavertdiu’irksireenav Agmintsnoc(rapetiurguseenldraesesecap-olsSatake,BailyetBoerdlnalscedaerlp calementsymetriques):lacompacticationminimale,dontlebordestdecodimension giretAe.aLavgminest en general bien plus singuliere que Ag des, mais on en connaˆt desingularisationspartielles:lescompacticationstorodales(construitespourleses-paceslocalementsymetriquesparAsh,Mumford,RapoportetTai)dontlebordestun diviseur,etquin’ontquedessingularitesquotientpardesgroupesnis. ToutescescompacticationsdeAgttentdesadmeuslrseneomdleseomsc-ertiles, pactications arithmetiques de Faltings et Chai. Cependant, elles sont construites par desprocedesadhocquin’endonnentpasd’interpretationmodulaire,asavoir,comme espaces de parametres d’objets geometriques (ce sens de l’adjectif “modulaire” est sans rapportaveclesformesmodulaires,quiontdesliensetroitsaveclacompactication minimale). Desexemplesimportantsdevarietesabeliennesprincipalementpolariseessontles jacobiennes des courbes algebriques irreductibles, lisses et completes de genreg 2. Ces courbes admettent un espace des modules Mgdont on connaˆt cette fois une compactication modulaire Mg, parametrant les courbes stables de genre arithmetique g. En associant a chaque courbe sa jacobienne, on obtient un morphismet: Mg→Ag quiestinjectifd’apresletheoremedeTorelli;deplus,Mg, Mgettadmettent des modeles entiers. La question se pose alors de construire une compactication modulaire et canonique de Agneiuslrd,emeroelremhpsideteetrmtiacmpcoreitneseepiuqtes de Torellit. Lestravaux[2,3,4]d’Alexeevapportentunereponsecompleteacettequestion. Sa compactication Agmodest un espace des modules de “couples quasi-abeliens sta-bles” ; il s’agit des couples (X, D) ouXonexm,iansevc(noeneteiraitcejorpevunste
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necessairementirreductible)danslaquelleunevarietesemi-abelienneGevaenucoerp nombrenid’orbites,etD et ample surest un diviseur e ectifXqui ne contient aucune de ces orbites. On suppose de plus queXest equidimensionnelle de dimensionget semi-normale (c’est une petite restriction sur ses singularites) et que les stabilisateurs de l’action deGsont des tores. L’exempleleplussimpled’untelcoupleestformed’unevarieteabelienneoperant danselle-meˆmepartranslations,etd’undiviseurtheˆta.Unexempleplussingulierest celui ouXest une cubique plane nodale munie de l’action du groupe multiplicatifGet du diviseurDforme d’un point distinct du point double ; c’est une degenerescence des cubiques planes lisses munies d’un point, c.-a-d des courbes elliptiques. Atoutcouplequasi-abelienstableonpeutassocieruncomplexedepolytopescon-vexesentiersappelesontype.Lescouplesdontletypeestun“pavageperiodique par des polytopes convexes entiers” d’un espace vectorielRr,rgnoptramaertes,s par la compactication modulaire Agmod. Parmi ces couples, on trouve ceux associes commeprecedemmentauxvarietesabeliennesprincipalementpolarisees(c’estlecasou r ees= 0), et aussi les jacobiennes compactides courbes stables de genre arithmetique mod g e permet d’obtenir un morphisme de Torelli compacti . Cecit: Mg→Ag; son imageestcontenuedansl’adherencedeAg, une composante irreductible de Agmoddont la normalisation est une compactication toro dale particuliere, notee AgVor. Engeneral,Agmodcnoit2[;]lbsemeneuart,tdittua’dtneopmocseriresntsatiucedr ce n’est pas une compactication de Agau sens usuel. description modulaire de Une la “composante principale” AgVorest proposee par Olsson [21] en termes de geometrie logarithmique;plusgeneralement,Olssonobtientunecompacticationcanoniquedes espaces Ag,dtlenvaesamartreebaneileirsetuqpionensiedimnesdgmunies d’une po-larisation de degred2. Mais des la construction d’une compactication modulaire espaces Ag,d,n(ou on se donne aussi une structure de niveaun) est une question ouverte. Ladenitiondescouplesquasi-abeliensstablessembleassezarbitraire:pourquoi faudrait-il s’interesser a des objets aussi singuliers ? En fait, la construction d’espaces desmodulesdevarietesprojectivesetlissesfaitapparaˆtredesobjetstresanalogues: andepouvoirconsidererdetellesvarietesXdont la classe canoniqueKXn’est pas ample(parexemple,lesvarietesabeliennes,pourlesquellesKXest triviale), on est amene a introduire des couples (X, D) ouDest un diviseur e ectif surXtel que KX+Dest ample.obtenir des espaces des modules complets, il faut autoriser Et pour desdegenerescencessingulieresdecescouplesendes“couplesstables”. Les courbes stables pointees forment le premier exemple de tels couples ; d’autres exemples importants sont les surfaces stables de [11]. Dans le manuscript [1], Alexeev formuleunedenitiongeneraledescouplesstables,etmontrequel’existenced’unes-pace des modules complet pour ceux-ci se deduit d’un ensemble de conjectures dans laclassicationdesvarietesalgebriques:leprogrammedeMorilogarithmique.Ces
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conjectures sont toujours ouvertes en grande dimension, et la construction de Amod g s’obtientpardesmethodesspeciqueslieesauxsymetriesdesvarietesconsiderees. Lebutdecetexteestd’exposerunepartiedesresultatsdesarticles[2,3,4,5]avec desprerequismodestesdegeometriealgebrique(parexemple,lecontenudumanuel[9]), dans l’espoir de rendre plus accessible un sujet ou foisonnent les notations, les denitions et les concepts. C’est pourquoi on rassemble dans la premiere partie des resultats classiquessurlesvarietesabeliennesetleursespacesdesmodules,tiresdesouvrages [13,15,8].Lasecondepartieestconsacreeauneconstructiondedegenerescences “maximales”devarietesabeliennes,quifaitapparaˆtrebeaucoupd’ingredientsdela compactication modulaire. Celle-ci fait l’objet de la troisieme partie ; on y decrit la structure des couples stables qu’elle classie et on enonce les resultats principaux la concernant,engeneralsansdemonstrationdetaillee. JeremercieR.Bacher,O.Debarre,S.DruelettoutparticulierementV.Alexeevet G. Remond pour des discussions tres utiles et pour leurs commentaires sur les versions successivesdecetexte;ilvadesoiquejesuisseulresponsabledeserreursetimprecisions qui pourraient y subsister.
1. VARI ET ES AB ELIENNES PRINCIPALEMENT POLARIS EES ET LEURS ESPACES DES MODULES
Dans tout ce texte, on appellevarieteunscetypeaupdtriece,dntoehnmeexsra,ee nisuruncorpsalgebriquementcloskccveteet;asntpanesotesrieseavnol,neitocvn necessairementintegres.OnappellecourberepuEn1.,onnetdedemineisnounevari identiechaquefaisceauinversibleaubreendroitesdontilestlefaisceaudessections locales.
1.1.Varietesabeliennes Unevarietecompleteestditeabeliennesi elle est munie d’une structure de groupe algebrique.UnetellevarieteAest integre, projective et lisse, et sa loi de groupe est commutative;onlanoteadditivement.Deplus,lastructuredegroupesurlavariete AsedonnarlaeeprmineetnedtuqmeutinuttourPo0.reutnetnemele’ledeea∈A, on note a:A→A, x7→x+a la translation para. Le sous-groupe du groupe de Picard deAforme des classes d’isomorphie des br es algebriquementequivalentsaubretrivialestnotePic0(A) ouA∨; c’est aussi une varieteabelienne,ladualedeAomomthou.Tireedavsiemrohpneslienabetesf:A→B denitunhomomorphismedualf∨:B∨→A∨, la restriction def: Pic(B)→Pic(A).
