Baccalauréat S Polynésie juin

[BaccalauréatSPolynésiejuin2009\
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats.
UneentreprisefabriquedeslecteursMP3,dont6%sontdéfectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas
parfaite.
Cetteunitédecontrôlerejette98%deslecteursMP3défectueux et5%deslecteurs
MP3fonctionnantcorrectement.
Onnote:
• D l’évènement :«lelecteurMP3estdéfectueux»;
• R l’évènement :«l’unitédecontrôlerejettelelecteurMP3».
1. Faireunarbrepondérésurlequelonindiqueralesdonnéesquiprécèdent.
2. a. Calculerlaprobabilitéquelelecteursoitdéfectueuxetnesoitpasrejeté.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté
alors qu’il n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est
défectueux.
Calculerlaprobabilitéqu’ilyaituneerreurdecontrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à
0,8942.
4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour sa-
voirsiunlecteurMP3peutêtrecommercialisé.
UnlecteurMP3est:
• commercialiséaveclelogodel’entreprises’ilsubitavecsuccèslesquatre
contrôlessuccessifs,
• détruits’ilestrejetéaumoinsdeuxfois,
• commercialisésanslelogosinon.
Lecoûtdefabricationd’unlecteurMP3s’élèveà50€.
Sonprixdeventeestde120€pourunlecteuraveclogoet60€pourunlecteur
sanslogo.
OndésigneparG lavariablealéatoirequi,àchaquelecteurMP3fabriqué,as-
socielegainalgébriqueeneuros(éventuellement négatif)réaliséparl’entre-
prise.
a. DéterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireG.
−2b. Calculerà10 prèsl’espérancemathématique deG.Donneruneinter-
prétationdecerésultat.
Exercice2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect.
Onsupposeraconnuslesrésultatssuivants:A.P.M.E.P. BaccalauréatS
• Pour tous points A, B et C du plan d’affixes respectives a, b et c, avec A6? C et
A6?B:¯ ¯ µ ¶ ³ ´¯ ¯b−a AB b−a −→ −→¯ ¯= etarg = AC, AB +k×2πoùk estunentierrelatif;¯ ¯c−a AC c−a
• Soit z unnombrecomplexeetsoitθunnombreréel:
iθz=e sietseulementsi|z|=1etarg(z)=θ+k×2πoùk estunentierrelatif.
Démontrerquelarotationr d’angleαetdecentreΩd’affixeωestlatransformation
′ ′ ′duplanquiàtoutpoint M d’affixez associelepointM d’affixez telleque:z −ω=
iθe (z−ω).
PartieB ³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v ,unitégra-
phique1cm.
′ ′Soit f l’application qui,àtoutpoint M d’affixe z associelepoint M d’affixe z telle
que:
′z =iz+4+4i.
1. a. Déterminerl’affixeωdupointΩtelque f(Ω)=Ω
′b. Montrerque,pourtoutnombrecomplexe z ona:z −4i=i(z−4i).
c. Endéduirelanatureetlesélémentscaractéristiquesde f.
2. OnnoteAetBlespointsd’affixesrespectives a=4−2ietb=−4+6i.
a. Placerlespoints A,BetΩsurunefigurequel’on completera aufur età
mesuredesquestions.
′ ′b. DéterminerlesaffixesdespointsA etB imagesrespectivesdespointsA
etBpar f.
3. On appelle m, n, p et q les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs
′ ′ ′ ′dessegments[AA ],[A B],[BB ]et[B A].
a. Déterminerm.Onadmettraquen=1+7i, p=−3+3iet q=1−i.
b. DémontrerqueMNPQestunparallélogramme.
q−m
c. Déterminerlaformealgëbriquedunombrecomplexe .
n−m
EndéduirelanatureduquadrilatèreMNPQ.
′4. Démontrerquelesdroites(B A)et(ΩN)sontperpendiculaires.
Exercice2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect.
Onsupposeraconnulerésultatsuivant:
Uneapplication f duplandanslui-mêmeestunesimilitudedirectesietseulement
′si f admetuneécriturecomplexedelaforme z =az+b oùa∈C−{0}etb∈C.
′ ′ ′DémontrerquesiA,B,A etB sontquatrepointsteIsqueAestdistinctdeBetA est
′ ′distinctdeB ,alorsilexisteuneuniquesimilitudedirectetransformantAenA etB
′enB .
PartieB
³ ´→− →−
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v , unité gra-
phique2cm.
OnnoteA,B,C,DetElespointsd’affixesrespectives
z =2i, z =2, z =4+6i, z =−1+i et z =−3+3i.A B C D E
Polynésie 2 juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
1. Placerlespointssurunefigurequiseracomplétéeaufuretàmesuredesques-
tions.
2. DéterminerlanaturedutriangleABC.
3. Soit f lasimilitudeplanedirectetelleque f(A)=Det f(B)=A.
a. Donnerl’écriturecomplexede f.
b. Déterminerl’angle,lerapportetlecentreΩdecettesimilitude.
c. MontrerqueletriangleDAEestl’imagedutriangleABCparlasimilitude
f.
d. EndéduirelanaturedutriangleDAE.
4. Ondésignepar(Γ )lecercIedediamètre[AB]etpar(Γ )lecercledediamètre1 2
[AD].
Onnote M lesecondpointd’intersectionducercle(Γ )etdeladroite(BC),et1
N lesecondpointd’intersectionducercle(Γ )etdeladroite(AE).2
a. Déterminerl’imagedeM parlasimilitude f.
b. EndéduirelanaturedutriangleΩMN.
c. Montrerque MB×NE=MC×NA.
Exercice3 5points
Communàtouslescandidats.
³ ´→−→− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .
On considère les points : A(1 ; −1 ; 3), B(0 ; 3 ; 1), C(6 ; −7 ; −1), D(2 ; 1 ; 3) et
E(4; −6; 2).
1. a. Montrerquelebarycentredusystème{(A, 2), (B,−1), (C, 1)}estlepoint
E.
b. Endéduirel’ensembleΓdespoints M del’espacetelsque
° ° p−−→ −−→ −−→° °
°2MA −MB +MC°=2 21.
2. a. MontrerquelespointsA,BetDdéfinissentunplan.
b. Montrerqueladroite(EC)estorthogonaleauplan(ABD).
c. Détermineruneéquationcartésienneduplan(ABD).
3. a. Déterminerunereprésentationparamétriquedeladroite(EC).
b. Déterminer les coordonnéesdupoint Fintersection dela droite(EC)et
duplan(ABD).
4. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation
Montrer que le plan (ABD) et l’ensembleΓ, déterminé à la question 1., sont
sécants.Préciserlesélémentscaractéristiquesdecetteintersection.
Polynésie 3 juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
Exercice4 6points
Communàtouslescandidats.
³ ´→− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı ,  .
PartieA
Lacourbe(C),donnéeenannexe,estlacourbereprésentatived’unefonction f dé-
′rivablesur[0; +∞[,defonctiondérivée f continuesur[0; +∞[.µ ¶
1
Lacourbe(C)passeparlespointsO etA 1; et,sur[0;1],elleestaudessusdu
2e
segment[OA].
Z1 1′1. Montrerque f (x)dx= ·
2e0
Z1 1
2. Montrerque f(x)dx> ·
4e0
PartieB
Onsaitdésormaisquelafonction f considéréedanslapartieAestdéfiniesur[0;+∞[
par:
−xxe
f(x)= .
2x +1
1. Déterminer la limite de f en+∞. Interpréter graphiquement le résultat ob-
tenu.
3 22. Onconsidèrelafonction g définiesur[0; +∞[par:g(x)=x +x +x−1.
Établir quel’équation g(x)=0admetunesolution uniqueαdansl’intervalle
[0; +∞[.
′3. a. Montrerquepourtoutxde[0;+∞[, f (x)etg(x)sontdesignescontraires.
b. Endéduirelesvariationsde f sur[0;+∞[.
4. Onconsidèrelasuite(u )définiepourtoutentiernatureln par:n
Z2n
u = f(x)dx.n
n
x 1
a. Montrerquepourtout x de[0; +∞[, 06 6 .
2x +1 2
¡ ¢1 −n −2nb. Montrerquepourtoutentiernatureln, 06u 6 e −e .n
2
c. Endéduirelalimitedeu quandn tendvers+∞.n
Polynésie 4 juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
ANNEXE
Exercice4
Cettepageneserapasàrendreaveclacopie
0,3
0,2 A
C
0,1
O
1 2
Polynésie 5 juin2009
b