Baccalauréat S Amérique du Nord mai
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. 1. L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) . Soit (P) le plan dont une équation est : 2x+ y ?3z+1= 0. Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7). Proposition 1 : «LepointH, projeté orthogonal deA sur (P), a pour coordonnées (0 ; 2 ; 1) ». 2. On considère l'équation différentielle (E) : y ? = 2?2y . On appelle u la solution de (E) sur R vérifiant u(0)= 0. Proposition 2 : «On a u ( ln2 2 ) = 1 2 ». 3. On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = √ 7un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 06un 6 7 ». EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) (unité graphique : 4 cm).
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[ Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. 1. L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) . Soit (P) le plan dont une équation est : 2x+ y ?3z+1= 0. Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7). Proposition 1 : «LepointH, projeté orthogonal deA sur (P), a pour coordonnées (0 ; 2 ; 1) ». 2. On considère l'équation différentielle (E) : y ? = 2?2y . On appelle u la solution de (E) sur R vérifiant u(0)= 0. Proposition 2 : «On a u ( ln2 2 ) = 1 2 ». 3. On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = √ 7un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 06un 6 7 ». EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) (unité graphique : 4 cm).
- repère orthonormal
- xe ?
- entier
- nature du triangle cde
- restitution organisée de connaissances
- leplan complexe
- point d'affixe za
- évènement
- points commun
[Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007\
EXERCICE1 3points Commun à tous les candidats Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. ³ ´ −→−→−→ 1.L’espace est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k. Soit (P) le plan dont une équation est : 2x+y−3z+1=0. Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7). Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0 ; 2 ; 1) ». ′ 2.On considère l’équation différentielle (E) :y=2−2y. On appelleula solution de (E) surRvérifiantu(0)=0. µ ¶ ln 21 Proposition 2 :« On au=». 2 2 3.On considère la suite (un) définie paru0=2 et, pour tout entier natureln, un+1=7un. Proposition 3 :« Pour tout entier natureln, on a 06un67 ».
EXERCICE2 5points Pour les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 4 cm). 5π −i Soit A le point d’affixezA=i et B le point d’affixezB=e . 6 2π 1.Soitr. On appelle C l’image de B parla rotation de centre O et d’angle 3 r. a.Déterminer une écriture complexe der. π −i b.Montrer que l’affixe de C estzC=e . 6 c.ÉcrirezBetzCsous forme algébrique. d.Placer les points A, B et C. 2.Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coef ficients 2,−1 et 2. 3 1 a.Montrer que l’affixe de D estzD= +i. Placer le point D. 2 2 b.Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle. 3.Soithl’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D parh. a.Déterminer une écriture complexe deh. b.Montrer que l’affixe de E estzE=3. Placer le point E.
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zD−zC 4. a.. On écrira le résultat sous forme expoCalculer le rapport zE−zC nentielle. b.En déduire la nature du triangle CDE.
EXERCICEpoints2 5 Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,u,v(unité graphique : 1 cm). On fera une figure que l’on complétera tout au long de cet exercice. Soient A, B et C les points d’affixes respectivesa=3+5i,b= −4+2i etc=1+4i. Soitfla transformation du plan dans luimême qui, à tout pointMd’affixez, ′ ′′ associe le pointMd’affixezdéfinie parz=(2−2i)z+1. 1.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques def. ′ 2. a.image du point B parDéterminer l’affixe du point Bf. ′ b.Montrer que les droites (CB ) et (CA) sont orthogonales. 3.SoitMle point d’affixez=x+iy, où on suppose quexetysont des entiers relatifs. ′ SoitMl’ image deMparf. −−−→ −→ ′ Montrer que les vecteurs CMet CAsont orthogonaux si et seulement si x+3y=2. 4.On considère l’équation (E) :x+3y=2, oùxetysont des entiers relatifs. a.Vérifier que le couple (−4 ;2) est une solution de (E). b.Résoudre l’équation (E). c.En déduire l’ensemble des pointsMdont les coordonnées sont des −−→ ′ entiers appartenant à l’intervalle [−5 ;5] et tels que les vecteurs CM −→ et CAsoient orthogonaux. Placer ces points sur la figure.
EXERCICEpoints3 5 Commun à tous les candidats Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante : •s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ; •s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1. 1.On appelle : E1l’évènement « le joueur perd la première partie » ; E2l’évènement « le joueur perd la deuxième partie » ;
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E3l’évènement « le joueur perd la troisième partie ». On appelleXla variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a.Quelles sont les valeurs prises parX? b.Montrer que la probabilité de l’évènement (X=2) est égale à 0,031 et que celle de l’évènement (X=002.3) est égale à 0, c.Déterminer la loi de probabilité deX. d.Calculer l’espérance deX. 2.Pour tout entier naturelnnon nul, on noteEnl’évènement : «le joueur perd lanième partie »,Enl’évènement contraire, et on notepnla proba bilité de l’évènementEn. a.Exprimer, pour tout entier naturelnnon nul, les probabilités des évènementsEn∩En+1etEn∩En+1en fonction depn. b.En déduire quepn+1=0, 05pn+0, 05pour tout entier naturelnnon nul. 3.On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnnon nul par : 1 un=pn−. 19 a.Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la rai son et le premier terme. b.En déduire, pour tout entier naturelnnon nul,unpuispnen fonc tion den. c.Calculer la limite depnquandntend vers+∞.
EXERCICE4 Commun à tous les candidats
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1. Restitutionorganisée de connaissances. x e L’objet de cette question est de démontrer quelim= +∞. x→+∞ x On supposera connus les résultats suivants : •la fonction exponentielle est dérivable surRet est égale à sa fonction dérivée ; 0 •e=1 ; x •pour tout réelx, on a e>x. •Soient deux fonctionsϕetψdéfinies sur l’intervalle [A;+∞[ oùAest un réel positif. Si pour tout x de [A;+∞[,ψ(x)6ϕ(x) et silimψ(x)= +∞, alors x→+∞ limϕ(x)= +∞. x→+∞ 2 x x a.On considère la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ parg(x)=e−. 2 Montrer que pour toutxde [0 ;+∞[,g(x)>0.
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x e b.limEn déduire que= +∞ x→+∞ x 1 x − 2 2.On appellefla fonction définie sur [0 ;+∞[ parf(x)=xe . 4 ³ ´ −→−→ On appelleCsa courbe représentative dans un repère orthogonalO,ı,. La courbeCest représentée en annexe.
a.Montrer quefest positive sur [0 ;+∞[. b.Déterminer la limite defen+∞. En déduire une conséquence gra phique pourC. c.Étudier les variations defpuis dresser son tableau de variations sur [0 ;+∞[. Z x 3.On considère la fonctionFdéfinie sur [0 ;+∞[ parF(x)=f(t) dt. 0 a.Montrer queFest une fonction strictement croissante sur [0 ;+∞[. x x x − − b.Montrer queF(x)=1−e−e . 2 2 2 c.Calculer la limite deFen+∞et dresser le tableau de variations deF sur [0 ;+∞[. d.Justifier l’existence d’un unique réel positifαtel queF(α)=0, 5. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée deαà −2 10 prèspar excès. 4.Soitnun entier naturel non nul. On noteAnl’aire, en unités d’aire, de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe defet les droites d’équationsx=0 etx=n. Déterminer le plus petit entier naturelntel queAn>0, 5.
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ANNEXE DE L’EXERCICE 4
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