Baccalauréat C Aix en Provence septembre
3
pages
Français
Documents
1977
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
3
pages
Français
Documents
1977
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1977 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Déterminer tous les couples (u, v) d'entiers relatifs vérifiant 5u?3v = 0. 2. En déduire les couples (p, q) d'entiers relatifs solutions de l'équation 5p?3q = 1 3. Résoudre le système x ?Z { x ? 1 (mod5) x ? 2 (mod3) EXERCICE 2 5 POINTS Soit P un plan affine euclidien et ( O, ??ı , ??? ) un repère orthonormé de P. Soit la fonction de R vers R f : x 7?? 12Log 1+ x 1? x . 1. Montrer que f est une fonction impaire. Étudier les variations de f et montrer que f définit une bijection de ]?1 ; +1[ sur R. Tracer la courbe représentative de f dans P. 2. Soit g la fonction réciproque de f ; quelles propriétés (ensemble de définition, sens de variation, continuité) de la fonction g peut-on déduire de l'étude de la fonction f . Montrer que g est dérivable sur R et que g ? = 1? g 2 3. Calculer ∫ 1 2 0 1 1? t2 dt ∫Logp3 0 (1? g 2(t)) dt .
Voir
[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1977 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Déterminer tous les couples (u, v) d'entiers relatifs vérifiant 5u?3v = 0. 2. En déduire les couples (p, q) d'entiers relatifs solutions de l'équation 5p?3q = 1 3. Résoudre le système x ?Z { x ? 1 (mod5) x ? 2 (mod3) EXERCICE 2 5 POINTS Soit P un plan affine euclidien et ( O, ??ı , ??? ) un repère orthonormé de P. Soit la fonction de R vers R f : x 7?? 12Log 1+ x 1? x . 1. Montrer que f est une fonction impaire. Étudier les variations de f et montrer que f définit une bijection de ]?1 ; +1[ sur R. Tracer la courbe représentative de f dans P. 2. Soit g la fonction réciproque de f ; quelles propriétés (ensemble de définition, sens de variation, continuité) de la fonction g peut-on déduire de l'étude de la fonction f . Montrer que g est dérivable sur R et que g ? = 1? g 2 3. Calculer ∫ 1 2 0 1 1? t2 dt ∫Logp3 0 (1? g 2(t)) dt .
- coordonnées du vecteur ????mm?
- ?? ?
- invariant par?
- groupe commutatif
- relatifs solution de l'équation
- entier relatif
[Baccalauréat C AixenProvence septembre 1977\
EX E R C IC E1 1.Déterminer tous les couples (u,v) d’entiers relatifs vérifiant
3P O IN TS
5u−3v=0. 2.En déduire les couples (p,q) d’entiers relatifs solutions de l’équation
5p−3q=1 3.Résoudre le système ½ x≡5)1 (mod x∈Z x≡2 (mod3)
EX E R C IC E2 5P O IN TS ³ ´ −→−→ Soit P un plan affine euclidien etO,ı,un repère orthonormé de P. Soit la fonction deRversR 1 1+x f:x→−7Log . 2 1−x
1.Montrer quefest une fonction impaire. Étudier les variations defet montrer quefdéfinit une bijection de ]−1 ;+1[ surR. Tracer la courbe représentative defdans P. 2.Soitgla fonction réciproque def; quelles propriétés (ensemble de définition, sens de variation, continuité) de la fonctiongpeuton déduire de l’étude de la fonctionf. ′2 Montrer quegest dérivable surRet queg=1−g 3.Calculer Z1Z Log 3 1¡ ¢ 2 2 dt1−g(t) dt. 2 01−t0
PR O B L È M E
12P O IN TS
Partie A ³ ´ −→−→ Soit P le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonorméO,ı,. On considère l’application ⋆ F:R→P t7−→m ³ ´ −→−→ telle que sixetydésignent les coordonnées demO,dans le repèreı,, µ ¶ 1 1 x=2t+ety=t−. t t
Le baccalauréat de 1978
A. P. M. E. P.
2 2 x y 1.SoitHl’hyperbole d’équation− =1. 16 4 ¡ ¢x y ⋆ Montrer queFR=H(on pourra poserX= +)∙ 4 2 ′ ′ Soienttettdeux réels non nuls tels queF(t)=metF(t)=m. Calculer en −−−→−−−−−−→ ′ ′′ ′ fonction det−tet det tles coordonnées du vecteurmm=F(t)F(t) . En déduire queFest bijective. On désigne parH1l’intersection deHavec le demiplan d’équationx>0 ; ¡ ¢ ⋆ ⋆ montrer queFR R=R−{0}. +=H1,où+ + −→−→ 2.etDéterminer les deux premières dérivées VΓ; montrerde l’application F −→ queΓa une direction fixe. −→−→ 3.TracerH1(on prendra°ı°=°°=2 cm). Placer les points A =F(1),m2=F(2),m3=F(3) et B =F(−1).
Partie B ¡ ¢ ′ ′′ Soientm(x;y) etm x;ydeux points deH; on considère le pointM(X;Y) défini par , ′ ′′ x xx y+x y ′ X= +y yetY= 4 4 µ ¶µ ¶ 2 2′2′2 x y xy 1.Calculer− −; montrer queMappartient àH. 16 416 4 On noteM=m⋆. La loi⋆est donc une loi de composition interne pourH. Montrer que :
′⋆ ⋆′ ′ ∀(t;t)∈R×R,F(t)⋆F(t)=F(t t). ¡ ¢ ⋆ En déduire queFest un isomorphisme deR,×sur (H,⋆). 2.En déduire que (H,⋆) est un groupe commutatif. µ ¶ 1 Préciser l’élément neutre. Que représentem=F. t ′ ′′ 3. a.On supposem6=m,m6=m, etM=m⋆m. En utilisant le A 1. montrer ′ que la droite (mm) est parallèle à la droite (AM). ′ b.On supposem=m; Montrer que la droite (mm) est parallèle à la tan gente en A àH. c.On suppose queM=m⋆m,m6=A etm6=B ; Montrer que la droite (AM) est parallèle à la tangente enmà H. d.On reprend les notations du A 3. De plus, on pose µ ¶µ ¶ 1 4 m4=F(4),m3=Fetm4/3=F. 3 3 Montrer quem4=m2⋆m2, etm4/3=m4⋆m3. Construire géométrique mentm4, puism3,puism4/3. e.Soient trois pointsm,n,pdeHtels quem⋆n=qetn⋆p=r. Montrer que, sip6=qetm6=r, les droites (mr) et (p q) sont parallèles, [Il est conseillé de calculer (m⋆n)⋆petm⋆(n⋆p)].
Partie C H→H Soit C∈Het soit l’applicationΦ: m7−→m⋆C On suppose quem=F(t) et C =F(e),eréel distant de 1.
AixenProvence
2
septembre 1977
Le baccalauréat de 1978
A. P. M. E. P.
2 1.Démontrer quemest invariant parΦsi et seulement sit=c. En déduire que si C appartient àH1,Φadmet deux points invariants U et V. (on appellera U celui de ces deux points qui est situé surH1). Montrer qu’alorsHadmet deux tangentes parallèles à la droite (AC) et que pourmdistinct de U et V ,la droite (mΦ(m) est parallèle à (AC). 2. Application:soit C=F(4)=m4. Déterminer U, V etΦ(m3). Vérifier que la tangente en U à H est parallèle à (AC).
AixenProvence
3
septembre 1977
