Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2008 Corrigé du Partiel du 5 avril 2008. Ex 1. Une convergence L1 Soit (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et de même loi telle que E|X1| < +∞. Pour tout n ≥ 1, on pose Sn := ∑n k=1 Xk. On note h : R? R une fonction continue bornée et on se propose de montrer que lim n?+∞ E ? ?h ( n?1Sn ) ? h ( EX1 )? ? = 0. (1) On commence par remarquer que (Xk)k≥1 vérifie les hypothèses de la loi forte des grands nombres, d'où Sn n p.s. ????? n?+∞ EX1. Par continuité de h sur R, on en déduit que h ( n?1Sn ) p.s. ????? n?+∞ h ( EX1 ) . Puisque h est bornée sur R, il existe une constante positive C telle que pour tout x ? R, |h(x)| ≤ C. Par conséquent la suite des variables aléatoires Yn := h ( n?1Sn ) est bornée par C. La constante C est trivialement une v.
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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2008 Corrigé du Partiel du 5 avril 2008. Ex 1. Une convergence L1 Soit (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et de même loi telle que E|X1| < +∞. Pour tout n ≥ 1, on pose Sn := ∑n k=1 Xk. On note h : R? R une fonction continue bornée et on se propose de montrer que lim n?+∞ E ? ?h ( n?1Sn ) ? h ( EX1 )? ? = 0. (1) On commence par remarquer que (Xk)k≥1 vérifie les hypothèses de la loi forte des grands nombres, d'où Sn n p.s. ????? n?+∞ EX1. Par continuité de h sur R, on en déduit que h ( n?1Sn ) p.s. ????? n?+∞ h ( EX1 ) . Puisque h est bornée sur R, il existe une constante positive C telle que pour tout x ? R, |h(x)| ≤ C. Par conséquent la suite des variables aléatoires Yn := h ( n?1Sn ) est bornée par C. La constante C est trivialement une v.
- rt?r?1 ln
- c1 par morceaux avec raccord continu au point
- théorème de convergence
- convergence
- variable aléatoire
- moyenne arithmétique de z1
- mn ≤
IS Math314
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Corrigé du Partiel du 5 avril 2008.
Année 2008
1 Ex 1.Une convergenceL Soit(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et de même loi telle queE|X1|<+∞. Pour toutn≥1, on P n poseSn:=Xk. On noteh:R→Rune fonction continue bornée et on se propose k=1 de montrer que −1 limESh nn−hEX1= 0.(1) n→+∞ On commence par remarquer que(Xk)k≥1vérifie les hypothèses de la loi forte des grands nombres, d’où Snp.s. −−−−→EX1. n→+∞ n Par continuité dehsurR, on en déduit que p.s. −1 h nSn−−−−→hEX1. n→+∞ Puisquehest bornée surR, il existe une constante positiveCtelle que pour toutx∈ −1 R,|h(x)| ≤C. Par conséquent la suite des variables aléatoiresYn:=Sh nnest bornée parC. La constanteCest trivialement une v.a. intégrable. Ainsi(Yn)n≥1converge presque sûrement vers la v.a. constanteY:=hEX1, cette convergence étantdominée par la v.a. intégrableC. Par le théorème de convergence dominée, on en déduit que cette 1 convergence a lieu aussi au sensL, ce qui donne exactement (1). Ex 2.Records et loi des grands nombres −r On noteXune variable aléatoire positive dont la loi vérifieP(X > t) =tpour tout réelt≥1. Dans tout l’exercice, on suppose que la constanterest dans]0,1[. On note(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires positives définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, de même loi queXet on pose : n X Mn:= maxXk, Sn:=Xk. 1≤k≤n k=1 −r 1) Lafonction de survieGde la v.a.XvérifieG(t) =P(X > t) =tpour t≥1. Cette formule n’est évidemment plus valable pourt <1puisqu’elle fournirait une probabilité supérieure à1. Il est néanmoins facile de voir que pour toutt <1,
