Notations Dans le probleme pour toute fonction h definie et derivable sur un intervalle I a valeurs dans R on note h sa fonction derivee On note E l'ensemble des fonctions f definies et continues sur l'intervalle derivables sur l'intervalle a valeurs dans R et verifiant les proprietes suivantes f f f est derivable sur et on note f sa fonction derivee x l f x x l f x Pour toute fonction f de E on note f˜ la fonction associee a f definie sur l'intervalle par f˜ x x f x
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Niveau: Supérieur, Bac+5
CAPES interne 2006 Probleme 1 Notations Dans le probleme, pour toute fonction h definie et derivable sur un intervalle I a valeurs dans R, on note h? sa fonction derivee. On note E l'ensemble des fonctions f definies et continues sur l'intervalle [0 ; 1], derivables sur l'intervalle [0 ; 1[, a valeurs dans R et verifiant les proprietes suivantes : • f(0) = 0 • f(1) = 1 • f ? est derivable sur [0 ; 1[ et on note f ?? sa fonction derivee • ?x ? [0 ; l[, f ?(x) > 0 • ?x ? [0 ; l[, f ??(x) > 0. Pour toute fonction f de E, on note : • f˜ la fonction associee a f , definie sur l'intervalle [0 ; 1] par f˜(x) = x? f(x) ; • I(f) le reel defini par I(f) = 2 ∫ 1 0 f˜(x) dx = 2 ∫ 1 0 [x? f(x)] dx. I(f) est appele indice de Gini de f . On admettra que si une fonction continue sur l'intervalle [0 ; 1] est monotone ou strictement mo- notone sur l'intervalle ]0 ; l[, il en est de meme sur l'intervalle [0 ; 1].
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CAPES interne 2006 Probleme 1 Notations Dans le probleme, pour toute fonction h definie et derivable sur un intervalle I a valeurs dans R, on note h? sa fonction derivee. On note E l'ensemble des fonctions f definies et continues sur l'intervalle [0 ; 1], derivables sur l'intervalle [0 ; 1[, a valeurs dans R et verifiant les proprietes suivantes : • f(0) = 0 • f(1) = 1 • f ? est derivable sur [0 ; 1[ et on note f ?? sa fonction derivee • ?x ? [0 ; l[, f ?(x) > 0 • ?x ? [0 ; l[, f ??(x) > 0. Pour toute fonction f de E, on note : • f˜ la fonction associee a f , definie sur l'intervalle [0 ; 1] par f˜(x) = x? f(x) ; • I(f) le reel defini par I(f) = 2 ∫ 1 0 f˜(x) dx = 2 ∫ 1 0 [x? f(x)] dx. I(f) est appele indice de Gini de f . On admettra que si une fonction continue sur l'intervalle [0 ; 1] est monotone ou strictement mo- notone sur l'intervalle ]0 ; l[, il en est de meme sur l'intervalle [0 ; 1].
- interpretation graphique de la relation
- courbes representatives de f2 et de g2 dans le plan
- loi de probabilite de y4
- orthonormal d'unite graphique
- entier
- indice de gini pour le pays considere
- pays
Proble`me1
CAPES interne 2006
Notations Dansleprobl`eme,pourtoutefonctionhd´eetdefiniavlbe´irnuniserulealrvteeualavI`snadsrR, ′ on notehno´dreviasofcnit´ee. On note E l’ensemble des fonctionsfetvr’lnissrunieueriv],d´[0;1allerusselbaetesntcod´niefi l’intervalle[0;1[,`avaleursdansRltnarpseirpo´te´v´etifieressuivantes: •f(0) = 0 •f(1) = 1 ′ ′′ •fonnote[1etabiverd´0;r[suleetsffasiondonctv´ee´eri ′ • ∀x∈[0 ;l[, f(x)>0 ′′ • ∀x∈[0 ;l[, f(x)>0. Pour toute fonctionfde E, on note : ˜ ˜ •fnctionaslafoa`ee´icosfllvaernt’irlsuienfie´d,r]1ap[e;0f(x) =x−f(x) ; Z Z 1 1 ˜ •I(feerfin´ieel)dl´parI(f) = 2f(x) dx= 2[x−f(x)] dx. 0 0 I(feGinide)e´leppatsdecidnief. On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo notonesurl’intervalle]0;l[,ilenestdemˆemesurl’intervalle[0;1].
´ Partie Iqleu´seudutEqedeeEsd´eelntme
1. Soitfelleer´edeuqire´lbairaveonaflumnnioctxi’tnuslrll[ereav1]0;r:pafinied´e 3 2 x x f(x) =λ+ +xu`oλuqetselenombrer´eeltelf(1) = 1. 3 2 1.1.Pre´ciserlavaleurdeλ. 1.2.D´emontrerquefeE.entd´lmenue´ets 1.3.D´emontrerquepourtoutxntna[0`appatear1;:]x−f(x)>0. ′ 1.4. Dresserle tableau de variation def.esarelvsnOrpe´icteacrispeualexrspsesrafen 0 et 1. 1.5.Tracerlacourberepr´esentativedefnoroamdlu’in´teunnmlaepslandhtroere`pernu’di graphique 10 cm. 1.6.ppAacilnoitoce´minoequ Onpeutconside´rerquelafonctionfrend compte de la concentration des richesses des habitantsd’unpaysdonne´.Parexemple,f(0,3)≈0,19signifie que30% des habitants (lespluspauvres)posse`dentenviron19% des richesses du pays. Dans ces conditions, l’indice de Gini donne une indication sur la concentration des richesses dans ce pays. Calculerl’indicedeGinipourlepaysconsid´er´e.Endonneruneinterpre´tationgraphique. 2. Soitnun entier naturel strictement positif etfneledarav´eumquriellelbaie´renotcoinnlfa n xuslrnfieireavi’tn0;1]lel´ed[par:fn(x) =x. 2.1.De´montrerquefne´emtned.Eeln´tues 2.2. CalculerI(fn). 2.3.De´montrerquelasuite(I(fn)).eetimilasresice´rtpeentgeernvcost n∈N∗ 3. Soitnetemrtcierslanuttierunenturie1e`asunterp´gnlbeelavaria´eriquedoitcmunnlnofa re´ellexde´nfipa1]0;e[r:i’lruseillavretn 1 n gn(x) = 1−(1−x).
3.1.D´emontrerquegnemtned.Etun´el´ees 3.2. CalculerI(gn). Comparer (I(fn)) et (I(gn)) pour tout entier natureln >1. 3.3. Danscette question, on supposen= 2. 3.3.1.R´esoudredansl’intervalle]0;1[l’e´quationf2(x) =g2(x). 3.3.2. Justifierle sens de variations des fonctionsf2etg2. p 3.3.3. Donner sous la forme d’un tableau les valeurs def2et les arrondis au 10 p centi`emedeg2pourpentier compris entre 0 et 10. 10 3.3.4.Tracerlescourbesrepr´esentativesdef2et deg2rnpee`erdslanlaepunnm’uid orthonormald’unit´egraphique10cm. 3.3.5.Donneruneinterpr´etationgraphiquedelarelationquiexisteentreI(f2) etI(g2). 3.3.6.Danslecasou`f2etg2rendent compte de la concentration des richesses des habitantsdedeuxpaysdiffe´rents,quevautl’indicedeGinipourchacundeces deux pays? Dans ce cas, l’indice de Gini vous sembletil signifiant? ˜ Partie IIest´ladencfoontileuQseuqporpe´irf ˜ Onconsid`eredanscettepartieunefonctionf´eme´eleEttnedfeei´`anaioocssnotclfaf ˜ 1.De´montrerquepourtoutxppartenaa:]tna`0[1;f6x. ˜′˜ 2.Danscettequestionon´etudielafonctionfedevie´´dref. ´ ˜ ′ 2.1. Etudierle sens de variation de la fonctionfsur [0; 1[. ˜ ′ 2.2.D´emontrerquesil’onsupposeque,pourtoutx]a`t[1;0,appartenanf(x)<0, on aboutit`auneimpossibilite´. ˜′ Demˆeme,d´emontrerquesil’onsupposeque,pourtoutxt`a]0;l[partenana,pf(x)>0, onaboutit`auneimpossibilite´. ˜ ′ 2.3.Ende´duirequ’ilexisteune´l´ementx0; 1[ tel que :de ]0f(x0) = 0. ˜′˜ 3.De´montrerqueftnisalofcnitno`aalie0seutsmele(se)0ge´tfest nulle sur [0 ; 1]. Que.peut on dire alors de la fonctionf? ˜′ 4. Onsuppose dans cette question quef(0)6= 0. ´ ˜′˜′ 4.1. Etudierle signe defseavirtae´iceslr0;1[etprsur[densiof; 1].sur l’intervalle [0 ˜′ 4.2. Justifierque, pour toutxelt.ain’tpnpara`avlaltnre1[:e]0;f(x)>0. ˜ 4.3.End´eduire.quelafonctionf; 1] un maximum, strictement positif, atteintadmet sur [0 enx0. Partie IIIet´epri´sprolqueGenicidei’dndsleiueQ Lesre´sultatsdelapartieIIpourrontˆetreutilis´espourr´esoudrelesquestionsdelapartieIII.
˜ Dans toute cette partie,fouetgnsinesuurjoe´ditnoofcntedeEfctioafonoci´nassa`eelf 1.De´montrerqueI(f)>0. 2.D´emontrerqueI(f)61. 3.Danscettequestion,onveutd´emontrerqueI(f)<1. 3.1.Prouverque,pourtoutre´elαpaap:an0;a[,o1[enrtt`an Z 1 f(x) dx>f(α)(1−α). 0 3.2.D´emontrerquelaconditionfee´rli1pmiluq1(=)enced’unel’existα0de l’intervalle ]0; 1 1[ tel quef(α0)>. 2 3.3.End´eduirequeI(f)<1. ` 4.Al’aidedelaquestion2.3..delapartieI,d´emontrerque,quelquesoitler´eelA <1, on peut trouver une fonctionfde E telle queI(f)> A. ˜′ 5. Danscette question, on suppose quef(0)6e`diern0o=tesnocx0t`an’ialpaapenrtetnreavll ˜′ ]0 ;1 [tel quef(0) = 0. On noteϕrivaladeueiqerm´unnoitcnofalbaelx0;lle[erva’intuslrnfieide´x0] par : x ˜ ϕ(x) =f(x)−M x0
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