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Français

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2006 - groupement A Exercice 1 - Spécialités CIRA, IRIST, Systèmes électroniques - (sur 11 points) Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés d'un ﬁltre numérique N et de comparer des e?ets de ce ﬁltre avec ceux d'un ﬁltre analogique A. Partie I On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement négatif. Soient x(n) et y(n) les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux représentant, respectivement, l'entrée et la sortie d'un ﬁltre numérique N . Ce ﬁltre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entier n positif ou nul, on a : y(n)? y(n? 2) = 0, 04 x(n? 1). 1. On note Zx et Zy les transformées respectives des signaux causaux x et y. Montrer que, pour tout nombre complexe z di?érent de ?1 et 1, on a : (Zy) (z) = 0, 04z(z ? 1)(z + 1) (Zx) (z) 2. On suppose que le signal d'entrée est l'échelon unité discret : x(n) = e(n) avec e(n) = { 0 si n < 0 1 si n ≥ 0 (a) Montrer que, pour tout nombre complexe z di?érent de ?1 et 1, on a : (Zy) (z) = 0, 04z 2 (z ? 1)2

signal d'entrée

expédition aux distributeurs de pièces détachées

probabilité

variable aléatoire

x2 par la loi normale de moyenne

appareil

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Mathématiques  brevet de technicien supérieur session 2006  groupement A

Exercice 1  Spécialités CIRA, IRIST, Systèmes électroniques  (sur11 points) Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés d’un ﬁltre numériqueNet de comparer des eﬀets de ce ﬁltre avec ceux d’un ﬁltre analogiqueA. Partie I On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement négatif. Soientx(n)ety(n)les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux représentant, respectivement, l’entrée et la sortie d’un ﬁltre numériqueN. Ce ﬁltre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entiernpositif ou nul, on a : y(n)−y(n−2) = 0,04x(n−1). 1. OnnoteZxetZyles transformées respectives des signaux causauxxety. Montrer que, pour tout nombre complexezdiﬀérent de−1et1, on a : 0,04z (Zy) (z) =(Zx) (z) (z−1)(z+ 1) 2. Onsuppose que le signal d’entrée est l’échelon unité discret :  0sin <0 x(n) =e(n)avece(n) = 1sin≥0 (a) Montrerque, pour tout nombre complexezdiﬀérent de−1et1, on a : 2 0,04z (Zy) (z) = 2 (z−1) (z+ 1) (b) Calculerles constantes réellesA,BetCtelles que : 0,04B Cz A = ++ 2 2 (z−1) (z(+ 1)z−1)z−1z+ 1 (c) Enremarquant que : (Zy) (z) 0,04z = 2 z(z−1) (z+ 1) montrer que, pour tout entiernpositif ou nul, on a : n y(n) = 0,02n+ 0,01 (1−(−1) )

(d) Déterminery(2k)puisy(2k+ 1)pour tout nombre entier naturelk. (e) Endéduire que pour tout nombre entier naturelk, on a :y(2k+ 1) =y(2k+ 2). (f) Représentergraphiquement les termes du signal causalylorsque le nombre entiernest compris entre−2et5.

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