L1 MathsI Analyse Fiche
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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1 1 Nombres reels, bornes superieures et inferieures. Exercice 1 On considere les nombres reels ? = √ 11 + 2 √ 29 + √ 16? 2 √ 29 + 2 √ 55? 10 √ 29 et ? = √ 5 + √ 22 + 2 √ 5. Montrer que ? = ? (on pourra calculer (√ 5 + √ 11? 2 √ 29 )2 ). Exercice 2 On donne des entiers strictement positifs, a, b, c, d, p, q tels que bc? ad = 1 et a b < p q < c d . Montrer que p > a, p > c, q > b, q > d. Exercice 3 Montrer que le nombre reel ? = 3 √ 27 + 6 √ 21 + 3 √ 27? 6 √ 21 est un entier naturel que l'on determinera. Indication : montrer que ? est solution d'une equation du 3eme degre a coefficients entiers. Exercice 4 En utilisant la formule du binome de Newton montrer que ?n ? N?,?x, y ? R+ n √ x + y ≤ n √ x + n √ y.
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L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1 1 Nombres reels, bornes superieures et inferieures. Exercice 1 On considere les nombres reels ? = √ 11 + 2 √ 29 + √ 16? 2 √ 29 + 2 √ 55? 10 √ 29 et ? = √ 5 + √ 22 + 2 √ 5. Montrer que ? = ? (on pourra calculer (√ 5 + √ 11? 2 √ 29 )2 ). Exercice 2 On donne des entiers strictement positifs, a, b, c, d, p, q tels que bc? ad = 1 et a b < p q < c d . Montrer que p > a, p > c, q > b, q > d. Exercice 3 Montrer que le nombre reel ? = 3 √ 27 + 6 √ 21 + 3 √ 27? 6 √ 21 est un entier naturel que l'on determinera. Indication : montrer que ? est solution d'une equation du 3eme degre a coefficients entiers. Exercice 4 En utilisant la formule du binome de Newton montrer que ?n ? N?,?x, y ? R+ n √ x + y ≤ n √ x + n √ y.
- coefficients entiers
- formule du binome de newton
- y2 ≤
- nombres reels
- entier
- existence de la borne superieure
- borne inferieure
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Français
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1
Nombresr´eels,bornessupe´rieuresetinfe´rieures.
Exercice 1esbromsnlseer´ocsnnOereldie` q p pp √ √√ √√ α1629 ++ 2= 11−55+ 22 29−10 29etβ+ 22+ 25= 5. p2 √ √ Montrer queα=β(on pourra calculer5 +11−2 29).
1
a p c Exercice 2On donne des entiers strictement positifs,a, b, c, d, p, qtels quebc−ad= 1et< <. b q d Montrer queq > dq > b,p > c,p > a,.
Exercice 3lee´roMuerqrentrembnole q q √ √ 3 3 γ21 ++ 627= 27−6 21 estunentiernaturelquel’onde´terminera. Indication : montrer queγrsientsentieffic´eoca`e´rgedeme`3uquationdnd’une´estlotuoi.se
Exercice 4olmeedduobrinmˆuttolnamfeiNseawnrteuulqinorntEe √ √√ ∗+nn n ∀n∈N,∀x, y∈Rx+y≤x+y.
1 Exercice 5:1. Etablir∀x∈[0,1],0≤x(1−x)≤. 4 3 1 2.Ende´duire:∀(a, b, c)∈[0,1],min(a(1−b), b(1−c), c(1−a))≤. 4
∗ Exercice 6Montrer que pour toutn∈Non a : n X√ √ 2n1√2n1 +n≤k≤+n. 3 33 2 k=1 √ 2 2 Exercice 7Montrer que∀(x, m)∈R,x≥m⇒1 +x≤1 + 2|m|+x.
∗ ∗ Exercice 8Soientn∈N,a1, . . . , an∈R, montrer que : + 1 1 2 (a1+∙ ∙ ∙+an).+∙ ∙ ∙+≥n . a1an Q n ∗ Exercice 9Soientn∈N,x1, . . . , xn∈[0,1]. Etablir que l’un au moins des deux produitsxi, Q i=1 n −n (1−xi)egalrou´rieunf´eseita`2. i=1
n n+ 1 Exercice 10Montrer que∀n∈N, <. n+ 1n+ 2 Ende´duireque 1 13 599 1 √<∙ ∙ ∙. . .∙<(1) 10 22 4 6100 10 √ ∗ Exercice 111. Soitn∈Ntel quenr.Montiecuned’auqreutneracele´rrentiosn∈/Q. √ √√ 2. Soientr∈Q+,s∈Q+; on suppose quer∈/Q. Montrer, en raisonnant par l’absurde, quer+s /∈ Q. Exercice 12On veut trouver les solutions dansRdnoitequael’´ q q √ √ x+ 3−4x−1 +x+ 8−6x−1 = 1(1)
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1
1. Montrerquexest solution de(1)si et seulement si √ √ |x−1−2|+|x−1−3|(2)= 1 2. Trouverles solutionsu∈Rnoitauqe´’led|u−2|+|u−3|= 1(3). 3. Conclure. |x| Exercice 13Pourx∈R, on poseg(x) =. 1 +|x| Montrerque,quelsquesoientlesre´elsxety,g(x+y)≤g(x) +g(y).
∗ Exercice 14Soitn∈N. √ √1√ √ 1. Montrerque2n+ 1−2n <√<2n−2n−1. n 2.Ende´duirelapartieentie`redunombrere´el 1 11 S= 1 +√+√+. . .+√. 2 310000 ! ! x x+ 1 Exercice 15Montrer que,∀x∈R,E =E +E(x). 2 2 Indication : on distinguera les casE(x)pair etE(x)impair.
2
∗ Exercice 16Soitn∈N. √ √ n n 1.Montrer(enutilisantlaformuledubinoˆmedeNewton)que(2 +(23) +−3)est un entier pair. √ n 2.Ende´duirequeE((2 +3) )est un entier impair. ( −1si x/∈Z, Exercice 17Monter que :∀x∈RE(x) + E(−x) =. 0sinon q−1 X p(p−1)(q−1) ∗ Ende´duirequesip, q∈Ntels quep∧q= 1alorsEk=. q2 k=1
∗ Exercice 18Soientx∈Retn∈N. Montrer que 1.0≤E(nx)−nE(x)≤n−1. ! 1 2.E E(nx) =E(x). n n−1 X k 3.ExE(+ =nx). n k=0
Exercice 19SoitA⊂R-a-tlie´.-Yenceetrivquenal 1)∃α >0,∀x∈A,x≥αet 2)∀x∈>A, x0?
Exercice 20Soientaetbepqulstetrourtourbmonxueslee´rsede´lexve´irafitnx > bon aita≤x. Montrer quea≤b.
Exercice 21SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que∀x∈A,∀y∈< yB, x. Montrer queAreeuetupesri´eobnrutendaemBComparererieure.aenro´fnitemdbenusupAetinfB.
Exercice 22SoitAune partie non vide deR. Montrer que siAme´ltneso`spnpluedeuit´espeta(resp. unplusgrande´l´ementb), alorsApso`sedeuneborneinf´eirueerr(se.pobnresup´erieure)etinfA=a(resp. supA=b).
L1 – MathsI-Analyse – Fiche 1
Exercice 23SoitA⊂R,A6=∅. Montrer quesup|x−y|= sup(A)−inf(A). x,y∈A
Exercice 24SoientA, Bmajor´eesdexpeudonseitratesedivnR. Montrer que A+B:={a+b;a∈A, b∈B}stejomaee´ruqteesup(A+B) = sup(A) + sup(B). ( ) m ∗ ∗ Exercice 25SoitAla partie deRfiein´deparA= ;m∈N, n∈N. mn+ 1 Montrer queAneorp´suaebunerullcca.eure.Leseinf´eriutenobnrreeiruee ( ) mn ∗ ∗ Exercice 26SoitAla partie deR´efindriepaA= ;m∈N, n∈N. 2 2 m+n+ 1 Montrer queAenuanrobpuseire´´freeiru.eeLcslauecuerle.ertunebornein ( ) 1 1 1 ∗ ∗ Exercice 27SoitX= +−;p∈N, q∈N. 2 2 p q pq Montrer queXospeds`mieretd´.ranerueire´pno’leuqeetuneurenesueborobnrueene´iriefn Indication:pourl’existencedelabornesup´erieure,onpourrad’abordremarquerque ! ! 1 1 1−1− ≥0. 2 2 p q
3
2 2 Exercice 28SoitA={x+y;x∈R, y∈R, xy= 1}. 1. MontrerqueAeiruqeeu’lno´dteerminera.ope`ssundeorebinneerf´ 2.Aposse`de-t-elleunebornesup´erieure? ( !) nπ1 ∗ Exercice 29SoitX+ ;= sinn∈N. Montrer queXetune´erieureospnrobpusede`senue 2n borneinf´erieurequel’onde´terminera.
∗ ∗2 2 Exercice 30SoitA={xy;x∈R, y∈R, x+y≤2}. Montrer queAesupborneure´eripsoueen`sde + + etuneborneinfe´rieure.Lesd´eterminer. ( ) 1 n∗ Exercice 31SoitA= (−;1) +n∈N. Montrer queAeobnrtuneureeerieinf´sspode`eebunneor n supe´rieure.Lesde´terminer.
