Théorie ergodique et systèmes dynamiques , livre ebook

Yves Coudène
Théorie ergodique et systèmes dynamiques
Copyright

© EDP Sciences, Les Ulis, 2013
ISBN papier : 9782759807604 ISBN numérique : 9782759830107
Composition numérique : 2023
http://publications.edpsciences.org/
Cette uvre est protégée par le droit d auteur et strictement réservée à l usage privé du client. Toute reproduction ou diffusion au profit de tiers, à titre gratuit ou onéreux, de tout ou partie de cette uvre est strictement interdite et constitue une contrefaçon prévue par les articles L 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. L éditeur se réserve le droit de poursuivre toute atteinte à ses droits de propriété intellectuelle devant les juridictions civiles ou pénales.
Présentation

Ce livre est une introduction à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques. Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université de Rennes 1, il est destiné à un public d’étudiants désireux d’acquérir des bases solides dans ces disciplines, ou à des chercheurs d’autres domaines souhaitant se familiariser avec les problématiques rencontrées.
Du point de vue mesurable, &quot ;Théorie ergodique et systèmes dynamiques&quot ; est organisé autour des concepts d’ergodicité, de mélange, d’entropie et d’isomorphisme. Un chapitre est consacré à la décomposition ergodique dans les espaces de Lebesgue. En matière de dynamique topologique, on s’intéresse aux notions de non-errance, de transitivité, mélange topologique, conjugaison et linéarisation.
&quot ;Théorie ergodique et systèmes dynamiques&quot ; est illustré par de nombreux exemples : applications de l’intervalle, décalages de Bernoulli, pendule pesant, flot géodésique en courbure négative, systèmes Morse-Smale, fractions rationnelles sur la sphère de Riemann et attracteurs dérivés d’Anosov.
L'auteur

Yves Coudène

Département de mathématiques Université de Bretagne Occidentale 6 avenue Le Gorgeu 29238 Brest Cedex 3 France
Table des matières Introduction Thèmes abordés Plan de l ouvrage À qui s adresse ce livre Partie I. Théorie ergodique Chapitre 1. Théorème ergodique en moyenne 1. Introduction 2. Théorème ergodique en moyenne 3. Application à la mécanique classique 4. Exercices 5. Commentaires Chapitre 2. Théorème ergodique presque partout 1. Introduction 2. Théorème ergodique ponctuel 3. Ergodicité du décalage 4. Exercices 5. Commentaires Chapitre 3. Mélange 1. Introduction 2. Définition du mélange 3. Exemple de la multiplication par 2 4. Exemple du décalage de Bernoulli 5. Exemple des endomorphismes des tores 6. Exercices 7. Commentaires Chapitre 4. L argument de Hopf 1. Introduction 2. Feuilletage stable et fonctions invariantes 3. Application aux automorphismes du tore 4. Flots sur les quotients de PSL 2 (R) 5. Exercices 6. Commentaires Partie II. Systèmes dynamiques Chapitre 5. Dynamique topologique 1. Introduction 2. Transitivité et mélange topologique 3. Points récurrents et ensemble non errant 4. Exercices 5. Commentaires Chapitre 6. Non-errance 1. Introduction 2. Non-errance 3. Exemples 4. Graphe associé à la dynamique Exercices 6. Commentaires Chapitre 7. Conjugaison 1. Introduction 2. Conjugaison et semi-conjugaison 3. Fonctions elliptiques 4. Le pendule simple 5. Les exemples de Schröder (1871) 6. Exercices 7. Commentaires Chapitre 8. Linéarisation 1. Introduction 2. Le théorème du point fixe hyperbolique 3. Théorème de linéarisation, cas lipschitzien 4. Théorème de linéarisation, cas différentiable 5. Exercices 6. Commentaires Chapitre 9. Un attracteur étrange 1. Introduction 2. Perturbation d un automorphisme du tore 3. Étude de la dynamique perturbée 4. Transitivité et mélange 5. Exercices 6. Commentaires Partie III. Théorie de l entropie Chapitre 10. Entropie 1. Introduction 2. Définition de l entropie 3. Propriétés de l entropie 4. Partitions génératrices 5. Entropie et isomorphisme 6. Exercices 7. Commentaires Chapitre 11. Entropie et théorie de l information 1. Introduction 2. La notion d information 3. Le jeu des questions et des réponses 4. Information et chaînes de Markov 5. Interprétation dans le cadre dynamique 6. Exercices 7. Commentaires Chapitre 12. Calculs d entropie 1. Introduction 2. Formule de Rokhlin 3. Entropie des décalages 4. Entropie des applications dilatantes 5. Exercices 6. Commentaires Partie IV. Décomposition ergodique Chapitre 13. Espaces de Lebesgue et isomorphisme 1. Introduction 2. Isomorphisme mesurable 3. Espace de Lebesgue 4. Théorème de Stone-Weierstraß mesurable 5. Exercices 6. Commentaires Chapitre 14. Décomposition ergodique 1. Introduction 2. Désintégration 3. Décomposition ergodique 4. Exercices 5. Commentaires Chapitre 15. Partitions mesurables et -Algèbres 1. Introduction 2. Partitions mesurables 3. -Algèbre associée à une partition 4. Partition associée à une -algèbre 5. Facteurs et partitions 6. -Algèbres et algèbres de fonctions 7. Correspondance de Rokhlin 8. Exercices Partie V. Annexes Appendice A. Convergence faible 1. Convergence dans un espace de Hilbert 2. Compacité séquentielle faible 3. Fermés convexes Appendice B. Espérance conditionnelle 1. Définition de l espérance conditionnelle 2. Propriétés de l espérance conditionnelle 3. Théorème de convergence L 2 des martingales Appendice C. Topologie et mesure 1. Séparabilité 2. Support d une mesure 3. Densité dans les espaces L p 4. Régularité intérieure 5. Exercices Bibliographie Notations Index des auteurs
Introduction

Mais malheur à l auteur qui veut toujours instruire ! Le secret d ennuyer est celui de tout dire .
Voltaire (1694-1778)
C es notes sont issues d un cours de Master 2 donné à l université de Rennes 1 pendant la période 2005-2008. Il s agissait d un cours d introduction à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques ; le but était de présenter quelques idées générales qui sont à la base de ces deux théories, avant que les étudiants ne se spécialisent en suivant des cours plus approfondis.
Le cours était composé de douze séances de deux heures chacune ; il m a paru judicieux de focaliser chaque séance sur un concept particulier et de faire en sorte que les différentes séances soient largement indépendantes entre elles. De fait, le matériel présenté est à l intersection de théories mathématiques très diverses et l auditoire intéressé par le sujet est souvent composé d étudiants et de chercheurs d horizons très différents : probabilistes, dynamiciens, géomètres, physiciens, etc.
Chaque chapitre commence par une présentation informelle des concepts et des problèmes que l on cherche à résoudre. Viennent ensuite les définitions rigoureuses et les démonstrations, que l on a cherché à illustrer par des exemples à la fois simples et pertinents. Les figures forgent l intuition du lecteur tandis que les exercices lui permettent de tester sa compréhension du sujet. Il m a semblé intéressant de rajouter quelques commentaires à la fin de chaque chapitre, afin de remettre le matériel étudié dans son contexte historique, présenter quelques problèmes actuels et orienter le lecteur dans la littérature, en fonction de ses intérêts propres. Ces commentaires sont plutôt destinés à une seconde lecture et supposent une certaine maîtrise des concepts présentés dans ce livre.
Pour ce qui est du contenu, j ai voulu insister sur les idées plus que sur les aspects théoriques, sur les exemples plus que sur la technique. Il existe plusieurs livres présentant les théories générales avec un grand luxe de détails, aussi bien dans le domaine des systèmes dynamiques que dans celui de la théorie ergodique. Ces notes n ont pas vocation à les remplacer. J ai donné pour quelques résultats classiques des preuves nouvelles ou inhabituelles, afin d illustrer certains aspects méconnus du sujet. Ces preuves sont susceptibles d intéresser même les chercheurs les plus aguerris. Le lecteur est bien sûr invité à consulter les ouvrages de référence pour prendre connaissance des approches plus classiques, qui sont résumées dans les commentaires.
Thèmes abordés
Théorie ergodique et systèmes dynamiques sont deux théories qui vont très bien ensemble. La première apporte à la seconde ses résultats quantitatifs les plus remarquables, tandis que la seconde est une pourvoyeuse infatigable d exemples prompts à infirmer les conjectures les plus chères à la première. Toutes deux nées au début du vingtième siècle, au moins d un point de vue mathématique et moderne, sous la houlette d un des géants du siècle, Henri Poincaré (1854-1912), elles ont connu un développement soutenu jusqu à aujourd hui. Les ouvrages qui prétendent rendre compte d une part non négligeable de ces théories sont susceptibles, de par leur taille et leur style, d effrayer même les étudiants les plus motivés.
Ce livre a été écrit dans le but d être accessible au plus grand nombre, de susciter l intérêt pour un domaine très actif des mathématiques, et peut servir d introduction à la littérature plus avancée.
Les grands problèmes que l on cherche à élucider n ont pas tellement évolué en un siècle. Prenons l exemple d une application qui agit sur un certain espace de configurations X . Les points de X représentent les différents états que peut prendre le système au cours de son mouvement. Partant d une configuration initiale donnée par un point x de X , les itérés de x correspondent aux états successifs que visite le système au cours de son évolution. Ce livre s intéresse aux questions suivantes :
- Le système repasse-t-il près de son état initial au cours de son évolution ?
C est ce qu essaient de formaliser les concepts de récurrence et de nonerrance, aussi bien sur le plan quantitatif (mesure) que sur le plan qualitatif (topologie).
- Est-il possible de construire une représentation du système dans laquelle l évolution prend une forme particulièrement simple à décrire ?
Les notions de conjugaison locale ou globale, d isomorphisme, de codage et de modèle symbolique cherchent chacune, à leur façon, à mettre le système sous une forme où l évolution peut être effectivement c