L'Equation de Pell-Fermat x²-dy²=1 revisitée , livre ebook
58
pages
Français
Ebooks
2015
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Publié par
Date de parution
12 février 2015
Nombre de lectures
62
EAN13
9782342034547
Langue
Français
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12 février 2015
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62
EAN13
9782342034547
Langue
Français
L’Équation de Pell-Fermat
࢞െࢊ࢟ൌ revisitée
Du même auteur
À la (re)découverte de l’arithmétique de Diophante,
Publibook, 2010
Serge Coquerand
L’Équation de Pell-Fermat
࢞െࢊ࢟ൌ revisitée
Le problème des bœufs d’Hélios
Publibook
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http://www.publibook.com
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Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015
Le but de cet ouvrage est d’aborder sous un angle
différent de celui qui fait appel aux fractions continues la
manière de résoudre en nombres entiersݔ etݕ l’équation
ଶ ଶ
de Pell-Fermat du typeȂݔͳൌݕ݀, dans laquelle݀est
un entier non carré donné.
Dans la première partie, une démarche complète de
résolutions sera indiquée avec quelques applications, ainsi
que toutes les solutions pour les valeurs de݀non carré de
2 à 209.
Dans la deuxième partie, la manière de résoudre le
problème des bœufs d’Hélios vous permettra de constater
qu’avec une certaine rigueur dans la démarche il est
possible de trouver des solutions en très peu de temps avec un
ordinateur et muni d’un logiciel comme par exemple
Mathematica.
Dans la littérature actuelle la résolution de l’équation de
Pell-Fermat est abordée par l’utilisation des fractions
continues et de racines carrées. Pour de petites valeurs de݀,
n’importe quel ordinateur acheté dans le commerce muni
d’un logiciel de mathématique du type Mathematica est en
mesure de fournir en peu de temps des solutions.
Cependant, lorsque݀grand, comme par devient
exempleʹͺ Ͷʹ͵ ʹͺ ͶʹͶ݀ ൌͶͳͲ quiapparaît dans le
problème des bœufs d’Archimède, élever des expressions
contenant des irrationnels à des puissances de l’ordre du
millier fait que, d’une part l’ordinateur travaille pendant
des heures et très souvent se bloque, et d’autre part s’il
donne un résultat, il le donne avec des valeurs
approchées….
Dans la troisième partie, une méthode est présentée
pour tenter de décomposer des grands nombres.
9
Première partie.
L’équation de Pell-Fermat
Comme signalé en préambule, il s’agit de trouver des
valeurs entièresሺݔǡ ݕሻtelles que, pour tout entier݀non carré
ଶ ଶ
donné, la relationݕ ͳݔ ൌ݀soit vérifiée.
Convention d’écriture :
ሺݔ ǡݕ ሺݔǡ
Le couple de nombres entiersଵ ଵሻque telଵݕ ሻൌ1
ଵ
correspondra aux valeurs les plus petites avecݕଵnon nulle
ଶ ଶ
ݔ ൌ݀ ͳ
vérifiantଵݕଵOn le désignera par le terme de .
solution élémentaire.
ሺݔ ǡݕ ሻݔ ൌൌͲ
désigne la solution banaleͳ ǡ ݕ.
Tout le problème consiste alors à trouver la solution
éléǡ ݕ
mentaireሺݔଵ ଵሻ, car une fois celle-ci connue, elle permet
ǡ
de générer toutes lሻ.
es autres valeurs possiblesሺݔݕ
On peut démontrer par récurrence que si
ଶ ଶ
ǡ ݕ
൫ݔିଵ ିଵൌ൯ǡͳque si c’est-à-direݔ ൌ݀ݕ ͳ
ିଵ ିଵ
alors൯ൌͳݔǡݕ൫.
Posons :
࢞ ࢞
࢞ ࢊ࢟ି
ൌ൬ ൰൬ ൰൬ ൰ relation (1 )
࢟ ࢟
࢟ ࢞ି
Il vient :
ଶ ଶ
ݔ ൌሺݔݔ ݀ݕ ݕሻ
ଵିଵ ଵିଵ
ଶ ଶଶ ଶ ଶ
ݔ ݕ ݀ݕ ݕ
ൌݔ ݔ ʹ݀ݔݕଵ ିଵ ିଵଵ
ଵ ିଵଵ ିଵ
11
