Introduction aux variétés différentielles , livre ebook

383

pages

Français

Ebooks

2010

Écrit par
Jacques Lafontaine

Publié par
EDP Sciences

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

383

pages

Français

Ebook

2010

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

EDP Sciences

Date de parution

01 octobre 2010

Nombre de lectures

EAN13

9782759801206

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

8 Mo

Ce livre scientifique est une initiation aux variétés différentielles, préalable à des enseignements plus spécialisés. Le lecteur devra posséder une compétence sur le calcul différentiel dans les espaces euclidiens. Sont abordées les principales notions de géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble constitue une introduction aux groupes de Lie. Il est illustré par les éléments de théorie du degré et de cohomologie.

Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base. Il propose des exercices classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume.

Le succès de la première édition notamment auprès des étudiants a motivé les améliorations de cette édition. Un chapitre nouveau est proposé sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré et le théorème de Gauss-Bonnet. Cet ouvrage est un pap-ebook : un site web corrélé propose des compléments et des annexes. Le lecteur peut ainsi s'appuyer sur des rappels, des exercices, des approfondissements sur le site compagnon présenté au début du livre.

Destiné aux étudiants de master et des préparations à l'agrégation, aux universitaires, aux professeurs des lycées et des classes préparatoires. Les physiciens sont également concernés.

Voir

Publié par

EDP Sciences

Date de parution

01 octobre 2010

Nombre de lectures

EAN13

9782759801206

Langue

Français

Poids de l'ouvrage

8 Mo

GRENOBLE

CO L L E C T I O NGR E N O B L ESC I E N C E S
DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL

INTRODUCTION
AUX VARIÉTÉS
DIFFÉRENTIELLES

Nouvelle édition
QJacques LAFONTAINE

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

INTRODUCTION
AUX VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
nouvelle édition

Grenoble Sciences

Grenoble Sciences est un centre de conseil, expertise et labellisation de
l’enseignement supérieur français. Il expertise les projets scientiﬁques des auteurs dans
une démarche à plusieurs niveaux (référés anonymes, comité de lecture
interactif) qui permet la labellisation des meilleurs projets après leur optimisation.
Les ouvrages labellisés dans une collection de Grenoble Sciences ou portant la mention
« Sélectionné par Grenoble Sciences » («Selected by Grenoble Sciences»)
correspondent à :
» desprojets clairement déﬁnis sans contrainte de mode ou de programme,
» desqualités scientiﬁques et pédagogiques certiﬁées par le mode de sélection (les
membres du comité de lecture interactif sont cités au début de l’ouvrage),
» unequalité de réalisation certiﬁée par le centre technique de Grenoble Sciences.

Directeur scientiﬁque de Grenoble Sciences
JeanBORNAREL, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1

On peut mieux connaître Grenoble Sciences en visitant le site web :
http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

On peut également contacter directement Grenoble Sciences :
Tél (33) 4 76 51 46 95, e-mail :grenoble.sciences@ujf-grenoble.fr

Livres et pap-ebooks
Grenoble Sciences labellise des livres papier (en langue française et en langue
anglaise) mais également des ouvrages utilisant d’autres supports. Dans ce contexte,
situons le concept depap-ebookqui se compose de deux éléments :
» unlivre papierqui demeure l’objet central avec toutes les qualités que l’on connaît
au livre papier
» unsiteweb corréléou siteweb compagnonqui propose :
›des éléments permettant de combler les lacunes du lecteur qui ne possèderait pas
les prérequis nécessaires à une utilisation optimale de l’ouvrage
›des exercices de training
›des compléments permettant d’approfondir, de trouver des liens sur internet, etc.
Le livre dupap-ebookest autosufﬁsant et certains lecteurs n’utiliseront pas le site
web compagnon. D’autres pourront l’utiliser, et chacun à sa manière. Un livre qui
fait partie d’unpap-ebookporte en première de couverture un logo caractéristique
et le lecteur trouvera le site compagnon à l’adresse internet suivante :
http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/nom de l’auteur du livre

*UHQREOH 6FLHQFHV EpQp¿FLH GX VRXWLHQ GX0LQLVWqUH GH O¶(QVHLJQHPHQW
VXSpULHXU HW GH OD 5HFKHUFKHHW GH OD5pJLRQ 5K{QH$OSHV
*UHQREOH 6FLHQFHV HVW UDWWDFKp jO¶8QLYHUVLWp -RVHSK )RXULHU GH *UHQREOH

INTRODUCTION
AUX VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
nouvelle édition

Jacques LAFONTAINE

17, avenue du Hoggar
Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112
91944 Les Ulis Cedex A - France

Introduction aux variétés différentielles

Cet ouvrage est labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur
Mathématiques de la Collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe
des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée parJeanBORNAREL,
Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1.

&RPLWp GH OHFWXUH GH O¶RXYUDJH
› PierreAVERBUCH, Directeur de recherche honoraire au CNRS, Grenoble
› PierreBERARD, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble I
› GaëlMEIGNIEZ, Professeur à l’Université de Bretagne Sud
› Jean-YvesMERINDOL, Professeur, Directeur de l’ENS Cachan
&HWWH QRXYHOOH pGLWLRQ G¶,QWURGXFWLRQ DX[ YDULpWpV GLIIpUHQWLHOOHV GH-DFTXHV
/$)217$,1( DpWp VXLYLH SDU /DXUD&$32/2 SRXUOD SDUWLH VFLHQWL¿TXH HW SDU
$QQH/DXUH3$66$9$17HW 6\OYLH%25'$*(GX FHQWUH WHFKQLTXH *UHQREOH 6FLHQFHV
SRXU VD UpDOLVDWLRQ SUDWLTXH
/¶LOOXVWUDWLRQ GH FRXYHUWXUH HVW O¶°XYUH G¶$OLFH*,5$8' G¶DSUqV 7KRPDV%$1&+2))
-HII%($// %URZQ 8QLYHUVLW\ %RXWHLOOH GH./(,1 )URSXII ,QGXFWLYHORDG
:LNLPHGLD FRPPRQV ,PPHUVLRQ © ª GH OD ERXWHLOOH GH./(,1 pOpPHQWV IRXUQLV
SDU O¶DXWHXU

$XWUHV RXYUDJHV ODEHOOLVpV VXU GHV WKqPHV SURFKHV FKH] OH PrPH pGLWHXU
Analyse numérique et équations différentielles(Jean-Pierre Demailly)y Analyse
statistique des données expérimentales(Konstantin Protassov)y Approximation
Hilbertienne(Marc Attéia et Jean Gaches)y Description de la symétrie(Jean Sivardière)y
Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome I(Daniel Alibert)y
Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome II(Daniel Alibert)y
Mathématiques pour l’étudiant scientiﬁque - Tome I(Philippe-Jacques Haug)y
Mathématiques pour l’étudiant scientiﬁque - Tome II (Philippe-JacquesHaug)y
Mathématiques Pour les Sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé(Jean Paul et Françoise
Bertrandias)y Méthodes numériques appliquées pour le scientiﬁque et l’ingénieur
(Jean-Philippe Grivet)y Nombres et algèbre(Jean-Yves Mérindol)y Outils
mathématiques à l’usage des scientiﬁques et ingénieurs(E. Belorizky)

HW G¶DXWUHV WLWUHV VXU OH VLWH LQWHUQHW
KWWSJUHQREOHVFLHQFHVXMIJUHQREOHIU

ISBN 978-2-7598-0572-3
© EDP Sciences, 2010

Pour David,

Table

des

matières

Table des matièresI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comment utiliser cet ouvrage pap-ebook1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Chapitre 1. Calcul diﬀérentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1.1. Qu’est-ce que le calcul diﬀérentiel? .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1.2. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.2. Diﬀérentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.2.1. Déﬁnition et propriétés de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.2.2. Trois exemples fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
p
1.2.3. Fonctions de classeC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.3. Théorème des fonctions composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.4. Inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.4.1. Diﬀéomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.4.2. Diﬀéomorphismes locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.4.3. Immersions, submersions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.5. Sous-variétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.5.1. Propriétés de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.5.2. Exemples : sphères, tores, groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.5.3. Paramétrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.5.4. Vecteurs tangents, espace tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
1.6. Sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
1.7. Points critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
1.8. Valeurs critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Introduction aux variétés différentielles

1.9. Calcul diﬀérentiel en dimension inﬁnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
1.10. Commentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
1.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Chapitre 2. Notions de base sur les variétés53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.1.1. Un exemple typique : les droites du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.1.2. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
2.2. Cartes, atlas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
2.2.1. Des variétés topologiques aux variétés lisses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
2.2.2. Premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.3. Fonctions diﬀérentiables; diﬀéomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.4. Le théorème de d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2.5. Les espaces projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
2.6. L’espace vectoriel tangent; applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2.6.1. Espace tangent, application linéaire tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2

Voir