Intégrales singulières , livre ebook

MATHÉMATIQUES

Frédéric PHAM

Intégrales
singulières

S AV O I R SA C T U E L S

INTÉGRALES SINGULIÈRES

Frédéric Pham

Intégrales singulières

S A V O I R SA C T U E L S
EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS

c2005, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
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ISBNEDP Sciences 2-86883-799-9
ISBNCNRSÉDITIONS2-271-06186-5

II.

Théorie des résidus de Leray
1. Divisionet dérivation des formes différentielles. . . . . . . .
2. Théorèmedes résidus dans le cas d’un pôle simple. . . . . .
3. Théorèmedes résidus dans le cas d’un pôle multiple. . . . .
4. Résiduscomposés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Généralisationà l’homologie relative .. . . . . . . . . . . . .

55
55
58
62
63
65

Introduction

I.

TABLE DES MATIÈRES

III.

29

Homologie et cohomologie des variétés
1. Chaînessur une variété (d’après De Rham)
Formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Homologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Cohomologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Dualitéde De Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Famillesde supports. Isomorphisme et dualité de Poincaré
6. Courants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Indiced’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introduction à l’étude topologique des singularités
de Landau

Partie I

29
31
37
39
41
45
49

Préface

1

vii

3

7
7
7
10
12
17
20
22
26

Variétés différentiables
1. Définitiond’une variété topologique. . . . . . . . . . . . . .
2. Structuressur une variété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Sous-variétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Espacetangent à une variété différentiable. . . . . . . . . .
5. Formesdifférentielles sur une variété .. . . . . . . . . . . . .
∞
6. Partitionsde l’unité sur une variétéC. . . . . . . . . . . .
7. Orientationdes variétés. Intégration sur les variétés. . . . .
8. Appendicesur les ensembles analytiques complexes. . . . .

iv

IV.

V.

VI.

VII.

TABLE DES MATIÈRES

Théorème d’isotopie de Thom
1. Isotopieambiante .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Espacesfibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Ensemblesstratifiés .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Théorèmed’isotopie de Thom. . . . . . . . . . . . . . . . .
5. «Variétés » de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
67
70
73
78
81

Ramification autour des « variétés » de Landau85
1. Exposédu problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
2. Pincementsimple. Formules de Picard-Lefschetz. . . . . . .89
3. Étudede quelques points singuliers des « variétés » de Landau98

Analyticité d’une intégrale dépendant d’un paramètre111
1. Holomorphied’une intégrale dépendant d’un paramètre. .111
2. Partiesingulière d’une intégrale, dépendant d’un paramètre116

Ramification d’une intégrale dont l’intégrant
est lui-même ramifié131
1. Généralitéssur les revêtements. . . . . . . . . . . . . . . . .131
2. Formulesde Picard-Lefschetz généralisées. . . . . . . . . . .133
3. Appendicesur l’homologie relative
et les familles de supports. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Notes techniques

Sources

Bibliographie

Partie IIIntroduction à l’étude des intégrales singulières
et des hyperfonctions

Introduction

141

145

147

151

153

VIII. Fonctions declasse de Nilsson d’une variable complexe155
1. Fonctionsde classe de Nilsson .. . . . . . . . . . . . . . . . .155
2. Équationsdifférentielles à points singuliers réguliers . . . . .161

IX.

Fonctions de classe de Nilsson sur une variété
analytique complexe165
1. Définitiondes fonctions de classe de Nilsson. . . . . . . . .165
2. Étudelocale des fonctions de classe de Nilsson. . . . . . . .167

X.

XI.

XII.

TABLE DES MATIÈRES

v

L’analyticité des intégrales dépendant de paramètres173
1. Intégralesuniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
2. Intégralesmultiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
3. Unexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

Esquisse de démonstration du théorème de Nilsson

181

Exemples d’intégrales singulières185
1. Premierexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
2. Deuxièmeexemple .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

XIII. Hyperfonctionsd’une variable,
hyperfonctions de classe de Nilsson197
1. Définitiondes hyperfonctions d’une variable. . . . . . . . .197
2. Dérivationd’une hyperfonction .. . . . . . . . . . . . . . . .198
3. Caractèrelocal de la notion d’hyperfonction. . . . . . . . .199
4. L’intégraled’une hyperfonction. . . . . . . . . . . . . . . .200
5. Hyperfonctionsdont le support est réduit à un point .. . . .201
6. Hyperfonctionsde classe de Nilsson. . . . . . . . . . . . . .201

XIV. Introductionà l’analyse microlocale de Sato203
1. Fonctionanalytique en un pointxdans une direction203. . . .
n
2. Fonctionanalytique dans un champ de directions surR. .203
3. Valeursau bord d’une fonction analytique dans un champ
de directions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
4. Supportmicrosingulier d’une hyperfonction
(ou support spectral, ou support essentiel,
ou spectre singulier, ou wave front set, etc.). . . . . . . . . .208
5. Supportmicrosingulier d’une intégrale. . . . . . . . . . . .210

A

B

Construction du faisceau d’homologie deXsurT

Groupes d’homologie à coefficients locaux

Complément bibliographique

213

217

219

PRÉFACE

À maintes reprises au cours de leur histoire, la physique théorique et les
mathématiques se sont rencontrées autour de grandes structures, sources
de fécondité pour les deux disciplines.
Avec la formulation mathématique de la théorie quantique des champs
et des particules vers 1960, l’importance des structures de fonctions
holomorphes à plusieurs variables se manifeste, et les singularités complexes
associées dites «de Landau» constituent tout un univers, dont
l’interprétation physique fait partie du bagage conceptuel de base du physicien des
particules. Ainsi la présence d’un pôle dans une variable d’énergie ou de
masse signale l’existence d’une particule et les singularités de plus haute
complexité manifestent la prépondérance d’une géométrie de collisions
multiples relativistes classiques, incluant des créations de particules, au sein
du processus d’interaction quantique.
Par ailleurs, sur le plan des mathématiques pures, on peut dire que cette
branche de la physique théorique participe véritablement à la genèse de la
théorie des hyperfonctions et de l’analyse microlocale. (On peut
mentionner à ce propos les motivations physiques initiales de M. Sato à l’époque des
« relations de dispersion », et les travaux de A. Martineau et de B. Malgrange
et M. Zerner à propos du théorème du « edge-of-the-wedge», liés aux
premières rencontres de Strasbourg entre physiciens et mathématiciens).
Pour le physicien mathématicien, il y a des raisons profondes à ces
structures holomorphes de la théorie quantique des champs, lesquelles sont
inhérentes aux grands principes de la physique quantique relativiste :
causalité d’Einstein, invariance par le groupe de Poincaré, positivité de l’énergie,
conservation de la probabilité ou «unitarité »etc. Cependant, c’est dans
l’approche appelée «théorie des perturbations» de la théorie quantique
des champs (approche dont le rapport à la théorie des champs « complète »
ou « non-perturbative » est comparable à celle des séries formelles par
rapport à l’étude des séries convergentes) que les structures holomorphes
génératrices de singularités de Landau apparaissent sous leurs formes

viii

PRÉFACE

élémentaires : il s’agit des fonctions holomorphes définies par des intégrales
de fonctions rationnelles associées aux « diagrammes de Feynman ».
Ce fut le mérite de Frédéric Pham, alors qu’il était un jeune physicien
dans le Service de Physique Théorique de Saclay, d’avoir entrepris une
étude systématique de ces structures mathématiques en s’appuyant
notamment sur les notions développées par J. Leray dans son calcul des résidus à
plusieurs variables conjointement avec le théorème d’isotopie de R. Thom.
Avec son aboutissement que constituent les formules de Picard-Lefschetz,
cette étude fondamentale des singularités des intégrales se situe aux confins
de l’analyse et de la géométrie algébrique. Publiée en 1967 dans le Mémorial
des Sciences Mathématiques (Éditeur Gauthier-Villars), elle fut suivie d’un
second ouvrage en 1974 (fruit d’un cours donné à Hanoï) où les mêmes
structures, enrichies par les travaux de Nilsson, sont aussi abordées par des
méthodes d’équations différentielles et généralisées sous l’angle de la
théorie des hyperfonctions et de l’analyse microlocale.
Une réédition de ces textes nous paraît pouvoir jouer un rôle
extrêmement utile, non seulement pour le mathématicien par l’importance de son
contenu et la diversité des points de vue adoptés, mais aussi pour le
ph