Applications mathématiques avec MATLAB Vol. 1 : algèbre linéaire et géométrie , livre ebook

Algèbre linéaire et géométrie© LAVOISIER, 2005
LAVOISIER
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75008 Paris
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2-7462-0993-4 ISBN Général
2-7462-0994-2 ISBN Volume 1
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Code de la propriété intellectuelle.APPLICATIONS MATHÉMATIQUES
®AVEC MATLAB
Algèbre linéaire
et géométrie
rappel de cours et exercices corrigés
Luc Jolivet
Rabah LabbasTabledesmatiŁres
Avant-propos ..................................... 13
PREMI¨RE PARTIE.PR SENTATION DE MATLAB .............. 17
Chapitre1.CalculsavecMatlab ......................... 19
1.1. CalculsnumØriquesusuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.3. Conna trelesfonctionsutilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.4. CalculsrØpØtØssurtouslesØlØmentsd untableau . . . . . . . . . 21
1.2. Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. ReprØsentationgraphiqued unefonction . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2. AutresreprØsentationsgraphiquesplanes . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3. CalculsymboliqueavecSymbolicMathToolbox............. 25
1.3.1. SimpliÞcationd expressionalgØbrique . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Unexempledecalculavecunevariable . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Utilisationdesyms........................... 27
1.3.4. CalculstrigonomØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5. RØsolutiond Øquationsoud inØquations . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.6. Misesengarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. ItØrationsetØtudedesuites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1. Formatlong,formatshort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2. Tableaud Øvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3. Graphed unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4. Dessind unquadrilatŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.5. EgalitØssymboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.6. ItØrØsd unesuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.7. SuitedeFibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
56 MathØmatiques avec Matlab
Chapitre2.ProgrammationavecMatlab .................... 41
2.1. CrØerdessous-programmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. MØmoriserdesinstructionsdansunÞchierscript ......... 41
2.1.2. ReprØsenterunefonctionmathØmatique. . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.3. CrØerunsous-programmeavecparamŁtres . . . . . . . . . . . . . 44
2.2. Traitementsconditionnels,expressionslogiques . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1. Exemple:Øtuded unefonctiondØ Þnieparmorceaux . . . . . . . 47
2.2.2. ExpressionslogiquesetquantiÞcateurs . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3. ExempledefonctionrØcursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. LestypesdedonnØesutilisØsparMatlab ................. 50
2.3.1. TypenumØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2. Cha nesdecaractŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3. Typesymbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. QuelquescommandesimportantesdeMatlab............... 53
2.4.1. Sauvegardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2. Gestiondesvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3.del af Þchage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1. Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2. Suitepseudo-alØatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3. P.G.C.Ddedeuxnombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.4. CalculssurunechainedecaractŁres . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
DEUXI¨ME PARTIE.ALG¨BRE LIN AIRE ................... 59
Chapitre3.SystŁmeslinØaires:mØthodedeGauss .............. 61
3.1. SystŁmeslinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2. L ensembledessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.3. SystŁmesremarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. OpØrationsfondamentalessurlessystŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3. MØthodederØsolutiondeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1. PrØsentationsurunexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. SystŁmesdeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. RØsolutionavecMatlab ........................... 69
3.4.1. Utilisationdesolve .......................... 69
3.4.2.derref ........................... 70
3.5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.1. SystŁmeslinØairesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.2. UnsystŁmelinØaireavecparamŁtre . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



Tabledes matiŁres 7
Chapitre4.Matrices ................................ 79
4.1. GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1. Notationsetvocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2. Casparticuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3. DØÞnirdesmatricesavecMatlab .................. 81
4.2. OpØrationssurles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.1. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.2. Multiplicationparlesscalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3.desmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.4. TransposØed unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.5. CalculmatricielavecMatlab..................... 89
4.3. InversiondematricescarrØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.1. DØÞnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2. ActionsdeGausssurlesmatricescarrØes . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3. Calculexplicitedel inversed unematrice . . . . . . . . . . . . . 93
4.4. DØterminantd unematricecarrØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1. Casd unematricedetype ................... 96
4.4.2. Casd unedetype ................... 97
4.4.3. Casd unematricequelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.4. DØterminantdematricesparticuliŁres . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.5. PropriØtØfondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5. PropriØtØsdesdØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.1. DØveloppementsuivantlescolonnesouleslignes . . . . . . . . . 102
4.5.2. QuandundØterminantest-ilnul? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.3. ActionsdeGausssurlesdØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.4. DØterminantd unproduitdematrices . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6. CalculsdedØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.1. MØthodedeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.2. Utilisationdelacommandedet deMatlab ............. 107
4.7. RetourauxsystŁmesetformulesdeCramer. . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.1. EcriturematricielledessystŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7.2. RØsolutionparlesdØterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.1. Constructiond unematricediagonale . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.2. Calculsavectroismatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.3. Partsd unmarchØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8.4. Calculsavecdeuxmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.8.5. MØthodedeSylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.6. SurunsystŁmedeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.7. UnsystŁmedeVandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113










8 MathØmatiques avec Matlab
Chapitre5.Espacesvectoriels ........................... 127
5.1. L espacevectoriel ............................ 127
5.1.1. OpØrationsdans .......................... 127
5.1.2. Structured espacevectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. ConsØquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. L espacevectoriel ............................ 129
5.3. CasgØnØral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1. Structured espacevectoriel. . .