À la (re)découverte de l'arithmétique de Diophante , livre ebook

À la (re)découverte
de l'arithmétique
de Diophante

Serge Coquerand










À la (re)découverte
de l'arithmétique
de Diophante

Énoncés et résolutions de tous les problèmes contenus
dans les livres l à Vl parus dans le livre de Pierre Fermat
sous le titre dePrécis des œuvres mathématiques et de
l’arithmétique de Diophantepar M.E.Brassinne













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Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2010

Préface



C'est en 1853 que paraît une édition en français du livre
Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat par E. Brassinne,
professeur à l'école impériale d'artillerie à Toulouse. L'auteur
mentionne dans son introduction la publication en latin du
Recueil des Mémoires de P. Fermat en 1679 des principales
découvertes de Fermat. Du fait de la rareté des exemplaires, la
nécessité d'une réimpression s'avérait nécessaire. Le
Gouvernement français avait alors voté un projet de loi dans lequel un
crédit était accordé pour une réimpression des œuvres
complètes de P. Fermat. Malheureusement des circonstances firent
que ce projet ne vit jamais le jour. Peut-être était-ce dû en partie
aux nombreux fragments rédigés en latin.
C'est pourquoi le professeur Brassinne proposa de rédiger en
français une partie des œuvres de Fermat en "s'approchant à
n'altérer ni à n'omettre aucune des idées ou des démonstrations
de l'inventeur et en profitant pour notre exposition des
avantages de l'écriture algébrique moderne ".
La seconde partie de son Précis est consacrée aux six livres
complets de l'Arithmétique de Diophante. On y retrouve des
résolutions attribuées à Diophante, lequel résout quelques
problèmes déterminés et un grand nombre de problèmes
indéterminés qui ne dépassent pas le second degré. Fermat généralise et
cherche à obtenir un nombre infini de solutions. Il perfectionne
le procédé des doubles égalités et il l'étend aux triples égalités.
Ce livre présente les six livres parus dans l'édition de 1853
augmentés de la résolution complète de tous les problèmes
énoncés.

9

Livre I



Le livre I comprend 43 problèmes et l’édition dont il est fait
mention commence ainsi :
Diophante établit d’abord quelques définitions, qu’il est inutile
de rappeler, et il admet la règle des signes, qu’on démontre
dans la multiplication algébrique, comme un axiome. Les
solutions des problèmes que Diophante propose doivent être
rationnelles, c’est-à-dire entières ou fractionnaires.

Ci-après en écriture italique : le texte tel qu’il est imprimé dans
sa version originale de M.E.Brassinne.
En caractère droit : l’apport du présent auteur.

Proposition l :Diviser un nombre donné en deux parties
parties,qui diffèrent entre elles d’un nombre donné.

Résolution I :Soientܰle nombre donné etο൏ ܰla différence
des parties. Siݔest la première partie, alorsݔെܰ, qui est la
deuxième partie, remplit la première condition. Il faut ensuite
ଵ
queܰʹݔെሻൌെݔݔܰሺെ égaleǻ, donc queݔ ൌሺܰ ൅
ଶ
οሻ.

Proposition II:un nombre donné en deux parties qui Diviser
soient entre elles dans un rapport donné.

Résolution II : Soientܰ lenombre donné et݇le rapport
donné,ݔpremière partie du nombre, laെݔܰdeuxième partie la
du nombre pour satisfaire à la première condition. Il faut ensuite

11

௫ ே௞
queൌ݇la première partie ,x vaudraet la deuxième
ேି௫ ௞ାଵ
partie
ே
ܰെݔsera .
௞ ା ଵ


Proposition III: Diviserun nombre donné en deux parties,
telles que la plus grande soit égale au triple de la plus petite,
plus quatre unités.

Résolution III : Soientܰ lenombre donné,ݔ lapartie la plus
grande,ݔܰ Ȃpartie la plus petite qui remplit la première la
condition. Il faut ensuite satisfaire la deuxième condition
ଷேାସ
ݔൌ͵ሺܰെݔሻ൅Ͷ. La première partieݔ vaudraet la
ସ
ேିସ
deuxième partieݔܰ Ȃ .sera égale à
ସ

Proposition IV: Trouverdeux nombres qui soient dans un
rapport donné et qui diffèrent d’une quantité donnée.

Résolution IV : Soientͳ݇ ൐ lerapport donné etǻdiffé- la
rence. On veut trouver deux nombresܽ etܾ,ܾ൐ܽ, tels que
௞ο
ܽ ൌܾ݇ etܾൌ߂ܽെ. Les nombres serontܽ ൌ et
௞ ି ଵ
ο
ܾ ൌ.
௞ ି ଵ

Proposition V:un nombre en deux parties, telles Diviser
qu’une fraction de la première partie, ajoutée à une fraction de
la seconde, fasse un nombre donné.

Résolution V :Soientܰle nombre donné,ݔla première partie
etݔܰ Ȃla deuxième partie du nombre pour satisfaire à la
première condition,ߙݔ etߚሺܰȂ ݔሻ lesfractions de chacune des
parties. On veut remplir la deuxième conditionሺܰ െߙݔ ൅ ߚ

12

ሺଵିఉሻே
ݔሻ ൌܰ, d’où la première partieݔ ൌ etla deuxième
ఈିఉ
ሺఈିଵሻே
partieݔെൌܰǤ
ఈିఉ

Proposition VI:un nombre en deux parties, telles Diviser
qu’une fraction de la première, diminuée d’une fraction de la
seconde, fasse une différence donnée.

Résolution VI : Soientǻdifférence donnée, laݔpremière la
partie etܰെݔla deuxième partie du nombre pour satisfaire à
la première condition,ߙݔ etߚ ሺܰȂ ݔሻfractions de chacune les
des parties. On veut remplir la deuxième conditionߙݔ െ
ο ା ఉே
ߚ ሺܰ െ ݔሻൌ߂,d’où la première partieݔ ൌ etla
deuఈ ା ఉ
ఈே ି ο
xième partieݔ ൌܰ െ
ఈ ା ο
avec߂ ൏ ߙܰsi on veutǤܰ െ ݔ ൐ Ͳ

Proposition VII: Trouverun nombre tel, qu’en le diminuant
successivement de deux nombres donnés, les deux restes soient
dans un rapport assigné.

ܽ ܾݎ
Résolution VII :deux nombres donnés,et les Soientଵ le
݇
premier reste,ݎଶdonné tel quele deuxième reste, et le rapport
ݎ ݇
ݎଵൌbreܰavecܽെܰൌ