MANUEL DE mathématiques ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - Terminale , livre ebook

MANUEL DE
mathématiques
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Terminale

NOUVEAU PROGRAMME

Sous la direction de Denis Monasse

Stéphane Piat,
Mohamed Piroussa,
Luc Villemot

EAN : 9782820811165
© rue des écoles, 2021
Éditions rue des écoles,
2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France en février 2021
Dépôt légal : mars 2021

Table des matières

Préface

Chapitre 1. Suites réelles : convergence et divergences.
1. Suitesréelles convergentes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Définition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Limited’une suite convergente. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Quelquesrésultats de convergence immédiatement issus de la définition.. . .
1.4 Convergencepar comparaison.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Convergencepar opérations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Casdes suites monotones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Localisationde la limite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Suitesadjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Casdes suites récurrentes d’ordre 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Suitesdivergentes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Extensionde la notion de limite : limites infinies.. . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Divergencede seconde espèce.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Algèbredes limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Sommede limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Produitde limites. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Quotientde limites.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 2. Limites de fonctions. Continuité.
1. Limitesà l’infini.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Limiteinfinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Limitefinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Troisièmecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Étudede la fonction inversex7→.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
2.1 Quelquesconsidérations sur la fonction inverse.. . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Leslimites deI. . . . . . . . . .aux bornes de son ensemble de définition.
2.3 Interprétationsgéométriques des limites obtenues.. . . . . . . . . . . . . . .
3. Limited’une fonctionfen un réelx0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Comportementd’une fonctionfenx0. . . . . . . . . . . . . .« à droite ».
3.2 Comportementd’une fonctionfenx0« à gauche ».. . . . . . . . . . . . . .
3.3 Comportementd’une fonctionfenx0. Dans quels cas peut on parler de
limite d’une fonction au point d’abscissex0? .. . . . . . . . . . . . . . . .
4. Limiteset opérations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Lacomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 L’algèbredes limites. Les formes indéterminées. .. . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Exemplesdivers. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Interprétationsgéométriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Asymptotehorizontale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Asymptoteverticale. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Compléments: courbes asymptotes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Miscellanées.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Continuité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Continuitéen un point.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Prolongementpar continuité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Continuitéet opérations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Continuitésur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires.. . . . . .
7.5 Continuitéséquentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 3. Dérivation. Convexité.91
1. Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
1.1 Tauxd’accroissement et nombre dérivé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
1.2 Nombredérivé .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
1.3 Tangenteà une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
1.4 Fonctionsdérivées .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
2. Sensde variation de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
3. Extremumd’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
4. Approfondissement1 : Méthode d’approximation : Méthode d’Euler,
méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
4.1 Méthoded’Euler : Approximation de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Méthodede Newton : résolution approchée de l’équationf(x) = 0. . . . . . 107
5. Approfondissement2 : Dérivées successives. . . . . . . . . . . . . . . . . .109
6. Convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
6.1 Généralités.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Interprétationgéométrique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Convexitéet inégalités classiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7. Approfondissement3 : Accroissements finis. . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Chapitre 4. Fonctions logarithmes.127
1. Définitionde la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . .127
2. Variationset limites aux bornes de la fonction logarithme népérien. . . . .128
3. Propriétésalgébriques de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . .129
4. Dérivéede la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
5. Concavitéde la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . .139
6. Fonctionlogarithme base a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Cours de mathématiques spécialité en Terminale

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7. Puissanced’exposant réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
8. Fonctionexponentielle basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
9. Fonctionracinen−ième d’un réel positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
10. Croissancescomparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
11. Deuxièmedéfinition de la fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . .146

Chapitre 5. Fonctions trigonométriques.149
1. Étudedes fonctions trigonométriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
1.1 Quelquesrappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.2 Étudeconjointe des fonctions sinus et cosinus. .. . . . . . . . . . . . . . . . 151
2. Quelquesétudes de fonctions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
3. Inversiondes fonctions sinus et cosinus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
3.1 Casde la fonction sinus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2 Casde la fonction cosinus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4. Étudede la fonction tangente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
4.1 Rapideétude de la fonction tangente. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2 Lafonctionarctan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Chapitre 6. Primitives.183
1. Définitionet propriétés élémentaires des fonctions primitives. . . . . . . .183
2. Primitivesde fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
3. Primitiveset opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
4. Exercicesd’application directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
x
5. Primitivesdes fonctions de la formeP(x)e. . . . . . . . . . . . . . . . . .190
6. Primitivesde fonctions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

Chapitre 7. Équations différentielles.195
1. Introductionaux équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
2. Quelquesgénéralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
′
3. Équationdifférentielley=f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
′
4. Équationdifférentielley=ay,a∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
′
5. Équationdifférentielley=ay+b,a∈R,b∈R. . . . . . . . . . . . . .198
′′2∗
6. Équationdifférentielley=−ω y,ω∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . .200
+
6.1 Systèmemasse-ressort .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
′′2∗
6.2 Étudede l’équation différentielley=−ω y,ω∈R. . . . . . . . . . . . 201
+

Cours de mathématiques spécialité en Terminale

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7.
8.

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Équation différentielley=ay+b(t),a∈R. . . . . . . . . . . . . . . .202
Modèle logistique de P.F. Verhulst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

Chapitre 8. Calcul intégral.207
1. Activitéintroductrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
2. Intégraled’une fonction continue et positive sur un intervalle fermé. . . .209
3. Intégraled’une fonction continue sur un intervalle fermé. . . . . . . . . .217
4. Inégalitéde Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221
5. Intégrationpar parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
6. Encadrementd’intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
7. Calculd’aires à partir d’intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
8. Suiteset intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
9. Sommesde Riemann. . . . . .