MANUEL DE mathématiques ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - 1re , livre ebook

MANUEL DE
mathématiques
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ RE1
NOUVEAU PROGRAMME
Sous la direction de Denis Monasse
Virginie Dognon (Saint-Jean de Passy)
Marc Lelong (Saint-Jean de Passy)
Stéphane Piat (Institut Notre-Dame)
Mohamed Piroussa (Stanislas Paris)
Luc Villemot (Saint-Jean de Passy)EAN : 9782820810540
© rue des écoles, 2020
Éditions rue des écoles,
2 ter rue des Chantiers, 75005 Paris
Achevé d’imprimer en France en février 2020
Dépôt légal : mars 2020Table des matières
Préface 5
Chapitre 1. Calcul algébrique 7
1. Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Ordre dans les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
X Y
5. Approfondissements : Les symboles et . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chapitre 2. Fonctions polynômes du second degré 29
1. Second degré et fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Approfondissement : Fonctions polynômes de degré quelconque . . . . . . . 44
Chapitre 3. Suites 47
1. Notion de suite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Plusieurs modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. Suites arithmétiques et suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4. Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. Suites minorées, majorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6. Variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7. Autres définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8. Introduction à la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Chapitre 4. Approfondissement : limite d’une suite 75
1. Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2. Suites tendant vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3. Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Chapitre 5. Dérivation 85
1. Taux d’accroissement et nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2. Nombre dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3. Tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
34
4. Fonctions dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5. Sens de variation de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6. Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7. Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Chapitre 6. Fonction exponentielle. 103
1. Activité introductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Définition de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Etude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5. Approfondissement : Limites de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . 113
6. Composée de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7. Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre 7. Trigonométrie 121
1. Nombres réels et cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2. Cosinus et sinus d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3. Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4. Formules de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5. Les fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapitre 8. Produit scalaire 141
1. Activité : Mesure du défaut d’orthogonalité de deux vecteurs . . . . . . . . 141
2. Définition et différentes formulations du produit scalaire . . . . . . . . . . . 142
3. Application du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Chapitre 9. Configurations géométriques planes 151
1. Équations de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2. Intersection d’un cercle et d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3. Centre de gravité d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Chapitre 10. Probabilités conditionnelles et événements indépendants 157
1. Espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2. Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Cours de la spécialité mathématiques en Première5
3. Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4. Exercices développés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Chapitre 11. Variables aléatoires 177
1. Définition des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2. Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3. Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4. Quelques lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5. Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Chapitre 12. Ensembles et Applications 197
1. Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2. Applications et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Chapitre 13. Logique 211
1. Les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2. Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3. Réciproque et contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4. Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5. Les méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6. Complément : Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Chapitre 14. Généralités sur Python. 227
1. Choix de l’IDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2. Les variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3. Les différents opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4. Programmation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5. Quelques bibliothèques de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Cours de la spécialité mathématiques en PremièrePréface
Depuis près de 30 ans, chaque nouvelle réforme des programmes de mathématiques avait
conduit à un appauvrissement de cette discipline fondamentale pour la poursuite des études
supérieures dans bien des domaines (sciences, médecine, économie, etc.). Ces dernières
années, la situation était devenue catastrophique : peu d’énoncés précis (définitions, théorèmes,...),
plus de démonstrations mais des ensembles de recettes de calcul plus ou moins évaluées lors
des épreuves du baccalauréat. Lors de ces épreuves, les questions les plus indigentes faisaient
penser à la fameuse couleur du cheval blanc d’Henri 4. Un exemple frappant : il y a peu, un
exercice, posé à l’écrit de ce fameux bac, commençait par la question
2 2x 0 2 x« On posef(x) =xe . Montrer quef (x) = (1 2x )e ».
Que répondre à cette question ? On m’a dit, sans que je puisse le vérifier, que les candidats
qui voyaient un lien logique entre la définition de la fonction et la valeur de sa dérivée en
écrivant
2 2x 0 2 x« On af(x) =xe doncf (x) = (1 2x )e »
se voyaient attribuer la moitié des points. La désillusion était souvent rude pour des étudiants
qui avaient eu d’excellentes notes au baccalauréat (parfois 20/20) et qui ne comprenaient
même pas ce qu’on leur demandait lors de l’entrée en classes préparatoires ou à l’université :
mais que veut dire « montrer que » ?
Pendant ce temps notre pays, qui s’enorgueillissait de ses médailles Fields, s’écroulait dans
les évaluations ou les compétitions internationales. Certains des élèves les plus capables
étaient dégoûtés des mathématiques par cette vision caricaturale de la discipline. Je me
souviens d’une charmante élève de ma classe de Mathématiques Spéciales MP* au lycée Louis le
Grand, à laquelle je reprochais gentiment d’avoir fait une grosse erreur, qui m’avait répondu,
au bord des larmes : « Monsieur Monasse, cela fait un an et demi que je fais des
mathématiques, c’est normal que je fasse encore des bêtises ». Elle avait réalisé que, de la seconde à
la terminale, ce qu’elle avait fait, ce n’était pas des mathématiques. Heureusement, en deux
années de classes préparatoires, elle est devenue excellente en mathématiques et est entrée à
l’École Polytechnique.
Quant aux manuels, ils ressemblaient plus à des peintures bariolées, qu’à des cours de
mathématiques. Les couleurs flashy rivalisaient pour masquer l’indigence du contenu.
À la suite des travaux dirigés par Cédric Villani et Charles Torossian, la réforme du lycée,
qui a vu le jour à la rentrée 2019 en classe de Première, a voulu réintroduire un vrai contenu
disciplinaire, avec définitions, lemmes, théorèmes, corollaires et surtout démonstrations, à
travers une spécialité Mathématiques. Des programmes relativement ambitieux ont été mis en
place et il était indispensable que des manuels adaptés voient le jour pour servir de support de
Cours de la spécialité mathématiques en Première8
cours et d’exercices pour les élèves et leurs enseignants. C’est à cet ouvrage que se sont attelés
des professeurs chevronnés comme Virginie Dognon, Marc Lelong, Stéphane Piat, Mohamed
Piroussa et Luc Villemot. Il faut dire