LIVRE D’EXERCICES mathématiques ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ - Terminale , livre ebook

LIVRE D’EXERCICES
mathématiques
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Terminale

NOUVEAU PROGRAMME

Sous la direction de Denis Monasse

Cécile Janicot,
Stéphane Piat,
Mohamed Piroussa,
Luc Villemot

Nous remercions la Fédération Française des jeux Mathématiques (FFJM) qui nous
a autorisés à utiliser cinq énoncés d’exercices provenant des championnats des jeux
mathématiques et logiques.
Nous remercions également l’EM de Lyon qui nous a autorisés à utiliser l’énoncé
d’un exercice provenant d’un concours de l’EM de Lyon en 2018.
Enfin, nous avons pu sélectionner d’anciens exercices du baccalauréat
(19702000) grâce à la base de sujets très complète de l’Association des Professeurs de
Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP). Nous souhaitons également
vivement remercier l’APMEP.

EAN : 9782820812438
© rue des écoles, 2021
Éditions rue des écoles, 15 boulevard Bourdon, 75004 Paris
Achevé d’imprimer en France en octobre 2021
Dépôt légal : octobre 2021

Table des matières

Préface

Chapitre 1. Suites numériques. Énoncés des exercices

Suites numériques. Solutions des exercices du chapitre 1

Chapitre 2. Études de fonctions. Énoncés des exercices

Études de fonctions. Solutions des exercices du chapitre 2

Chapitre 3. Fonctions logarithmes. Énoncés des exercices

Fonctions logarithmes. Solutions des exercices du chapitre 3

Chapitre 4. Trigonométrie. Énoncés des exercices

Trigonométrie. Solutions des exercices du chapitre 4

Chapitre 5. Primitives et équations différentielles. Énoncés des exercices

Primitives et équations différentielles. Solutions des exercices du chapitre 5

Chapitre 6. Calcul intégral. Énoncés des exercices

Calcul intégral. Solutions des exercices du chapitre 6

Chapitre 7. Orthogonalité dans l’espace. Énoncés des exercices

Orthogonalité dans l’espace. Solutions des exercices du chapitre 7

Chapitre 8.Logique et calculs. Énoncés des exercices

Logique et calculs. Solutions des exercices du chapitre 8

Chapitre 9. Probabilités. Énoncés des exercices

Probabilités. Solutions des exercices du chapitre 9

Maths Expertes . Chapitre 1. Arithmétique. Énoncés des exercices

Maths Expertes . Arithmétique. Solutions des exercices du chapitre 1

3

5

7

15

35

44

77

84

113

118

139

147

165

184

241

247

263

268

277

287

309

320

4

Maths Expertes . Chapitre 2. Nombres complexes. Énoncés des exercices

Maths Expertes . Nombres complexes. Solutions des exercices du chapitre 2

Maths Expertes . Chapitre 3. Matrices et graphes. Énoncés des exercices

Maths Expertes . Matrices et graphes. Solutions des exercices du chapitre 3

Exercices de mathématiques. Spécialité et mathématiques expertes en Terminale

355

365

391

403

Préface

Après les livres de cours de Spécialité Mathématiques en Première et Terminale et de
Mathématiques Expertes en classe de Terminale, nous sommes fiers d’accueillir dans notre
collection ce recueil d’exercices couvrant les programmes de Spécialité Mathématiques et de
Mathématiques Expertes en classe de Terminale. Cet ouvrage est issu de la même équipe
d’enseignants chevronnés qui ont fait la preuve de leurs qualités aussi bien en ce qui concerne
la pédagogie que la rigueur.
Les mathématiques ne peuvent se concevoir et se maîtriser sans la recherche et la résolution
d’exercices. Même si les livres de cours cités ci-dessus contenaient déjà nombre d’exercices
corrigés, un recueil comme celui-ci fournit aux élèves un instrument de travail irremplaçable,
pourvu qu’ils s’en servent de manière intelligente. Je suggère que le lecteur travaille chaque
exercice en trois temps :
• dansune première étape, lire de manière approfondie l’énoncé et tenter de trouver une
solution au brouillon, même si celle-ci est réduite à une esquisse.
• dansun deuxième temps, que la première étape ait abouti ou non, lire la solution
rédigée par les auteurs de l’ouvrage, en comprenant bien la progression du raisonnement.
• enfin,dans une troisième étape, masquer la solution du recueil d’exercices, et rédiger
complètement sa propre solution, en effectuant une synthèse de sa propre réflexion et
de la solution élégante et rigoureuse fournie par les auteurs.
Nul doute que l’élève qui travaillera sérieusement les exercices de cet ouvrage, fera de gros
progrès en mathématiques, que ce soit sans le cadre strict de son parcours de Terminale ou
dans la préparation de ses futures études supérieures.
Les auteurs, Cécile Janicot, Mohamed Piroussa, Stéphane Piat et Luc Villemot ont accompli
dans ce recueil d’exercices un travail admirable dans la continuation des ouvrages de cours
déjà cités dont il constitue un complément presque indispensable. Pour cela, ils n’ont pas
hésité à puiser de nombreux énoncés dans les baccalauréats des années 70 et 80 (époque où l’on
faisait encore de vraies mathématiques en Terminale) et même dans un problème de CAPES,
tout en ajoutant un certain nombre d’exercices de leur propre cru. Les solutions sont toujours
rigoureuses et pédagogiques, explicitant les tenants et les aboutissants de leurs raisonnements.
Quant aux figures, parfois complexes, elles sont d’une qualité exceptionnelle.
Nul doute que cet ouvrage rencontrera un grand succès.
Denis Monasse

Exercices de mathématiques. Spécialité et mathématiques expertes en Terminale

Chapitre 1
Suites numériques
Énoncés des exercices

Exercices de mathématiques. Spécialité et mathématiques expertes en Terminale

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Exercice 1.
On considère deux suites numériques(un)n∈Net(vn)n∈N. Préciser si les affirmations
suivantes sont vraies ou fausses et justifier les réponses :
1. Si(un)n∈Na pour limite+∞alors(un)n∈Nest croissante à partir d’un certain rang.
2. Sila suite(unvn)n∈Nconverge vers0alors(un)n∈Nou(vn)n∈Nconverge vers0.
2
3. Si(un)n∈Nconverge alors(u)n∈Nconverge.
n
2
4. Si(u)n∈Nconverge alors(un)n∈Nconverge.
n
5. Si(un)n∈Nest croissante alors(un)n∈Nest convergente ou admet la limite+∞.
6. Sipour toutn∈N,vn> un>0etlimun= +∞alors
n→+∞
2
v
n
lim =+∞.
un
n→+∞
7. Ondéfinit les suites(sn)n∈Net(tn)n∈Nparsn=un+vnettn=un−vn.
Si(sn)n∈Net(tn)n∈Nconvergent alors les suites(un)n∈Net(vn)n∈Nconvergent.

Exercice 2.

1.aest un nombre réel. On considère la suite(un)de nombres réels définie pour tout
entier naturel par :
4 3
un+1=−un
10 10
avec pour condition initialeu1=a.
(a)(vn)est la suite de nombres réels définie pour tout entier natureln>1, par :
vn= 13un−4
Démontrer que(vn)est une suite géométrique et déterminer sa raisonk.
Exprimervnen fonction deneta.
(b) Prouverque, pour tout entier natureln>1:

n−1
4 43
un= +a− −
13 1310
(c) Déterminerla limite de la suite(un).
2. Unprofesseur oublie fréquemment les clés des sa salle.
Pour tout entier natureln>1, on noteEnl’événement : « le professeur oublie ses clés
le journ» etEnl’événement contraire.
pnest la probabilité deEn. On posep1=a, la probabilité qu’il oublie ses clés le
premier jour.
On suppose en outre que les deux conditions suivantes sont réalisées :
si le journ, il oublie ses clés, la probabilité qu’il les oublie le jour suivantn+ 1
•
1
est de.
10
si le journ, il n’oublie pas ses clés, la probabilité qu’il les oublie le jour suivant
•
4
n+ 1est de.
10
(a) Démontrerque, pour toutn>1:
1 4
pn+1=pn+ (1−pn)
10 10
(b) Endéduire l’expression depn+1en fonction depn.

Exercices de mathématiques. Spécialité et mathématiques expertes en Terminale

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(c) Àl’aide des résultats de la question1., donner l’expression depnen fonction de
net dea.
La limitepde la suite(pn)dépend-t-elle de la condition initialea?
D’après Bac. Série C, Centres Étrangers, juin 1996.

Exercice 3.
La suite de nombres réelsuadmet pour premier termeu0et est définie par la relation de
1
∗
récurrence :∀n∈N,un=un−1+ 3.
4
1. Étudierle cas oùu0= 4.
2. Onsupposeu06= 4. Montrer qu’il existe une suite géométriquevtelle queu−vsoit
indépendant den.
Exprimerunen fonction denetu0.
En déduire que la suiteutend vers une limite lorsquentend vers l’infini et calculer
cette limite.
D’après Bac. Série C, Clermont-Ferrand, septembre 1974.

Exercice 4.
On donne la suite(qn)d’entiers naturels croissante et dont le premier termeq0est
supén∈N
rieur ou égal à2. On construit la suite(un)par les égalités :
n∈N
1
u0=
q0
1 1
u1= +
q0q0q1
......................................................
1 11
un+= +∙ ∙ ∙+
q0q0q1q0q1∙ ∙ ∙qn

1. Montrerque la suite(un)est croissante et peut être majorée par une suite
convern∈N
gente. En déduire que la suite(un)a une limite qui appartient à l’intervalle]0; 1]
n∈N
deR.
2. Montrerque, si pour tout entiernsupérieur ou égal à l’entierk,qn=qk, la limite de
la suite(un)est un nombre rationnel.
n∈N
D’après Bac. Série C, Liban, Juin 1979.

Exercice 5.
Soit(un)la suite définie par :
1 2un+ 1
u0=et∀n∈N, un+1=.
2un+ 2
1. Étudierla suite(un)(variations, limite, ...)
2. Calculerunen fonction den. Pour ce faire, on pourra démontrer que la suite(vn)
un−1
définie pour tout entier naturelnpar :vn=est une suite géométrique.
un+ 1
Exercice 6.
∗
Soit la suite(un)à termes positifs définie surNparu1= 1et pour toutn>2par

Exercices de mathématiques. Spécialité et mathématiques expertes en Terminale

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2 22 2
n u−(n−1)u=n
n n−1
∗2 2
1. Onconsidère la suite(v=n u.
n)définie surNparvn nDéterminervnen fonction
den.
2. Endéduire que(un)est convergente et déterminer sa limite.
D’après Bac. Série C, Antilles-Guyane, septembre 1984.

Exercice 7.
Soit(un)n∈Nla suite réelle définie par son premier termeu0et par la condition : pour toutn
2
deN+
,un+1=unun
1. Démontrerque la suite(un)n∈Nest croissante.
2. Démontrerque si(un)n∈Nconverge alorslimun= 0.
3. Démontrerque si(un)n∈Nconverge alors quel que soitn∈N,un60.
2
ntrer que>0alors la suite(u)diverge.
4. Démosiu0+u0n n∈N
2
émontrer que siu+u <0alors pour to
5. D0 0utn∈N,−1< un<0. Conclure sur la
convergence de la suite(un)n∈N.
D’après Bac. Série C, Centres Étrangers, juin 1992.

Exercice 8.
On se propose d’étudier la suite(un)définie sur l’ensemble des entiers naturelsNparu0= 1
−un
etun+1=unepour tout entier naturelndeNpuis la conve