COURS DE MATHÉMATIQUES TERMINALE , livre ebook

COURS DE
MATHÉMATIQUES
TERMINALE

Auteur
Denis Monasse

© 2020, Epistemon
ISBN : 9782820810908
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en février 2020
Dépôt légal : mars 2020

Table des matières

Préface

Avant propos

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Chapitre 1. Logique et théorie des ensembles15
1. Élémentsde logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2. Théoriedes ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3. Méthodesde démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
4. Relationssur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Chapitre 2. Polynômes27
1. Polynômesà coefficients réels, coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
2. Opérationssur les polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3. Racinesdes polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
4. Polynômesà coefficients complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Chapitre 3. Construction deN. Raisonnement par récurrence.35
1. L’ensembledes entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
2. Principesde récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3. Structurede l’ensembleN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
4. Diversesformes du raisonnement par récurrence. . . . . . . . . . . . . . .38

Chapitre 4. Dénombrement.41
1. Nombred’applications d’un ensemble dans un autre. . . . . . . . . . . . .41
2. Injections,bijections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
3. Nombrede parties àpéléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
4. Formuledu binôme de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Chapitre 5. Divisibilité dansZ.47
1. Ladivision euclidienne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
2. Larelation de divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3. Plusgrand commun diviseur PGCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4. Nombrespremiers entre eux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

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Plus petit commun multiple PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 6. Nombres premiers.
1. Notionde nombre premier, congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Théorèmesde Fermat et de Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Décompositionen produit de nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 7. Nombres réels.
1. Axiomatiquedes nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Premièresconséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Développementp-adique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 8. Nombres complexes . (point de vue algébrique).
1. Constructiondu corps des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . .
2. Conjuguéd’un nombre complexe, module. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Équationdu second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Polynômesà coefficients complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 9. Nombres complexes . (point de vue géométrique).
1. Affixed’un point du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Exponentiellecomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Moduleet argument, forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Similitudeset nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c−a
5. Interprétationgéométrique du module et de l’argument de. . . . . .
b−a

Chapitre 10. Suites de nombres réels.
1. Généralitéssur les suites de nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Suitesmonotones de nombres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Suitesconvergentes de nombres réels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Opérationsur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Limitesinfinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Suitesmajorées, minorées, bornées.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.
8.

Convergence des suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergence et sous-suites, théorème de Bolzano-Weierstrass. . . . . . . .

Chapitre 11. Limites et continuité.
1. Préambule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Notionde limite en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Limiteà gauche, limite à droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Opérationssur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Limitesen±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Limiteset inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Limitesinfinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Comparaisondes fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Opérationssur les fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Fonctionscontinues à valeurs réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 12. Dérivation.93
1. Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
2. Opérationssur les dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
3. Tableauxdes dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
4. Extremums,théorème de Rolle et formule des accroissements finis. . . . .98
5. Applicationsde la dérivée à la monotonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
6. Dérivéeseconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
7. Fonctionsconvexes, concaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

Chapitre 13. Intégration.105
1. Partiespositives et négatives.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
2. Intégraled’une fonction positive sur un segment. . . . . . . . . . . . . . .105
3. Intégraled’une fonction continue sur un segment.. . . . . . . . . . . . . .107
4. Sommesde Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

Chapitre 14. Primitives et intégrales.113
1. Conventionde Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

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Application intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Primitives et intégrales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Changement de variables dans les intégrales.. . . . . . . . . . . . . . . . .115
Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
Quelques primitives usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

Chapitre 15. Exponentielle, logarithme, puissance.119
1. Fonctionlogarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
2. Fonctionexponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
3. Fonctionspuissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
4. Comparaisondes fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Chapitre 16. Équations différentielles.125
1. Généralitéssur les équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . .125
2. Solutionsd’une équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
3. Équationsdifférentielles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
′
4. Équationlinéaire du premier ordre à coefficient constanty=ay+b(t). .128
′
5. Équationlinéaire du premier ordrey=a(t)y+b(t). . . . . . . . . . . . .128
′′2
6. Équationlinéaire du second ordre à coefficient constanty=−ω y+b(t).130
′′2
7. Équationlinéaire du second ordre à coefficients constantsy=ω y+b(t).132
′′ ′
8. Équationlinéaire du second ordre à coefficients constantsy=ay+by+c(t)135

Chapitre 17. Espaces vectoriels.137
1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
n
2. L’espaceR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
n
3. Combinaisonlinéaire dans l’espaceR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
4. Structured’espace vectoriel sur le corps des réels. . . . . . . . . . . . . . .141
5. Combinaisonlinéaire dans unR-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . .143
6. Basesd’unR-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
7. Autresexemples de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
8. Équationsde droites dans le plan, de plans dans l’espace.. . . . . . . . . .152
9. Pourconclure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

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Chapitre 18. Applications linéaires et matrices.155
1. Définitionet premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
2. Imageet Noyau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
3. Matriced’une application linéaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
4. L’espacevectorielMn(R).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
5. Compositionde deux endomorphismes, multiplication matricielle.. . . . .164
6. Endomorphismebijectif.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
7. Matricecarrée inversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
8. Casparticulier des matrices carrées d’ordre 2.. . . . . . . . . . . . . . . .173

Chapitre 19. Géométrie affine.175
1. Notiond’espace affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175