Annales Africaines de mathématiques : Classes de terminale S Les épreuves et leurs corrigés , livre ebook

SPÉCIAL EXAMENS

ANNALES
AFRICAINES
DE MATHÉMATIQUES
Classes de terminale S

ÉPREUVES AVEC CORRIGÉS
25 ÉPREUVES DE BAC AVEC CORRIGÉS
POUR VOUS FAMILIARISER AUX ÉPREUVES DE BAC

ANNALES AFRICAINES DE MATHÉMATIQUES
LES AUTEURS PAR ORDRE ALPHABÉTIQUE

Lassana CISSOKHO
Conseiller pédagogique à l’IREMPT
Professeur de mathématiques au lycée Blaise-DIagne
Coordonnateur de la Collection

Abdoulaye FAYE
Conseillerpédagogique à l’IREMPT
Professeur de mathématiques
Inspecteur général de l’éducation nationale (IGEN)
Formateur à l’École normale supérieure

Sérigne Aliou LO
Conseiller pédagogique à l’IREMPT
Professeur de mathématiques
Ex-chef du département de mathématiques à l’UCAD

Oumar MBENGUE
Conseiller Pédagogique
Professeur de mathématiques au collège Sacré-Cœur

CIV287
Copyright, ISBN, etc.
Dépot Légal :
Éditeur N° 9623 du 18 Août 2011
3 timestre 2011
ISBN : 978-2-916472-87-4

AVANT-PROPOS

Les Annales africaines de mathématiques des classes de terminale S
sont conçues conformément aux programmes en vigueur dans les pays
francophones d’Afrique et de l’océan Indien.
Elles s’articulent principalement en quatre grandes parties.

ÉPREUVES AVEC CORRIGÉS
C’est un recueil d’un grand nombre d’épreuves déjà proposées aux
différents examens et concours du niveau bac.
Cette partie contient 25 épreuves suivies de corrigés pour vous
familiariser aux épreuves d’examens.
Toutefois, dans l’optique d’une bonne autoévaluation, nous vous
suggérons de toujours chercher d’abord pour, ensuite, confronter vos
résultats aux nôtres.

Lassana CISSOKHO
Coordonnateur

25 ÉPREUVES AVEC CORRIGÉS

ÉPREUVE N° 1 - BAC 1996 - PREMIER GROUPE/4 H

Applications
Calcul de probabilité.
Nombres complexes et transformation du plan.
lnx
2
Étude de fonctionxlnx–----etxx–1+2 lnx.
2
x

EXERCICE I
Un sac contient six jetons :
– 2 jetons portent le numéro 1 ;
– 3 jetons portent le numéro 2 ;
– 1 jeton porte le numéro 1.
On suppose que les jetons ont la même probabilité d’apparition.
1°) On tire simultanément trois jetons du sac. SoitXla variable
aléatoire associée à la somme des nombres portés par les jetons
tirés.
a) Déterminer la loi de probabilité deX.
b) Définir et représenter la fonction de répartition deX.
c) Calculer l’espérance mathématique deX.
2°) On tire successivement avec remise trois jetons du sac. SoitY
la variable aléatoire associée à la somme des nombres portés par les
jetons tirés.
a) Déterminer la loi de probabilité deY.
b) Calculer l’espérance mathématique deY.

25 épreuves avec corrigés

5

EXERCICE II

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormalO;i;j,
2
on considère les pointsM(z) etM’(f(z)), avecfz=z.
1°) Résoudre l’équationf(z) =zdansD.
2°) Déterminer l’ensemble des pointsM(z) tel que le triangle
OMM’ soit rectangle en O.
3°) Déterminer l’ensemble des pointsM(z) sifz=1 .
4°) Déterminer l’ensemble des pointsM(z) tels quef(z) =javec
2S
i--
1 3
3
j=e= –--+i---.
2 2

PROBLÈME
On considère la fonction numériquefdéfinie par :
lnx
fx=lnx–----, ln désigne la fonction logarithme népérien.
2
x
1°)
a) Donner l’ensemble de définition def.
b) Déterminer les limites defaux bornes de son ensemble de
définition.
2°)
a) Déterminer la fonction dérivée def.
b) On considère la fonction numériquegdéfinie par
2
g(x) =x– 1 + 2 lnx:
– étudier les variations de g et calculerg(1) ;
– en déduire le signe deg(x).
c) Montrer quef’(x) a le même signe queg(x). Dresser le tableau
de variation def.
3°) On désigne parCfla courbe représentative defet par9la courbe
représentative de la fonction logarithme népérien dans un plan
muni d’un repère orthonormal (on prendra 2 cm pour unité de
longueur sur les axes).
a) Étudier la position relative deCfet9.
Montrer que9est asymptote à la courbeCf.
b) Tracer les courbesCfet9(on précisera leurs tangentes au point
d’abscisse 1).

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Annales africaines de mathématiques - Terminales S

4°)Détant un nombre réel supérieur ou égal à 1, on noteA(D) l’aire
2
en cm, de l’ensemble des pointsMdu plan dont les coordonnées
(x,y) vérifient :
­1dxd D
®
fx dydlnx
¯
a) CalculerA(D) à l’aide d’une intégration par parties.
b) L’aireA(D) admet-elle une limite lorsqueDtend vers +f?
Interpréter le résultat obtenu.

ÉPREUVE N° 2 - BAC 1996 - PREMIER GROUPE/4 H

Applications
Calcul de probabilité.
Nombres complexes et transformation du plan.
x–1 2x
§ ·
Étude de fonctionx--------- -----etxln-----.
© ¹
2x+1
x–2x+5

EXERCICE I
Une urne contient 10 boules :
– une boule porte le chiffre 0 ;
– trois boules portent le chiffre 1 ;
– six boules portent le chiffre 2.
On extrait simultanément trois boules. On suppose que toutes les
boules ont la même chance d’être prélevées.
1°)
a) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule portant le
chiffre 2 ?
b) Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules portant le même
chiffre ?
2°) On désigne parXla variable aléatoire égale à la somme des
chiffres portés par les trois tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité deX.
Calculer son espérance mathématique.
b) Définir et représenter la fonction de répartitionFdeX.

25 épreuves avec corrigés

7

EXERCICE II

1°) Résoudre dansDl’équation :
2 22
sinDZ+sin 2DZ+1+cosD=0 ;0 <D<S.
On désigne parZ’ etZ’’ les solutions obtenus avec Im (Z’) > 0.
2 2
2°) Vérifier queZ’ +Z’’ est un réel indépendant deD.
3°) Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO;u;v. On
désigne parM’ etM’’ les points d’affixes respectivesz’ etz’’.
S
a) DéterminerD-tel que :- D SetMcMs=.2 2
2
b)Détant le réel trouvé au 3a), montrer queM’ etM’’ appartiennent
à un même cercle de centreO, dont on précisera le rayon.

PROBLÈME
On considère les fonctions numériques de la variable
réellexdéfix–1 2x
nie par :fx=---------------ethx=ln------.
2x+1
x–2x+5
Partie A
1°) Étudier les variations defet construire sa courbe représentative
Cfdans un repère orthonorméO;i;jdu plan.
En particulier, placer les points d’abscisses 0 et 2 de cette courbe
Cf.
2°) Montrer que le pointI(1 ;0) est centre de symétrie deCf.
Partie B
On désigne pargla fonction définie par :
­
gx=fxsix1
°
®g1=0
°
gx=hxsix!1
¯
1°) Étudier la continuité degenx= 1.
0
2°) Étudier la dérivabilité degenx= 1.
0
3°) Étudier les variations deget tracer sa courbe représentative (*).
Dans un un second repère orthonormé (unité 2 cm), on tracera la
(ou les) tangente(s) à (*) au pointI(1 ; 0).

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Annales africaines de mathématiques - Terminales S

4°) Montrer quegest une bijection deSsur une partieJdeSque
l’on précisera.
–1§1·–1
Déterminerg–-etg(x) six> 1.
© ¹
2
Partie C
x
SoitGla fonction définie par :Gx=gtdt;xS.
³
1
1°) Préciser pourquoiGest dérivable surSet déterminerG’(x).
2°) Déterminer l’expression deG(x) pourxd1 .
2
En déduire l’aire en cmde la partie du plan limitée par l’axex’ox
(axe des abscisses)
la courbe (*) et les droites d’équationsx= 0 etx= 1.

ÉPREUVE N° 3 - BAC 1996 - PREMIER GROUPE/4 H

Applications
Calcul sur les suites numériques.
Calcul de statistique.
x+4x+4
§ ·
Étude de
fonctionx------etxln----.
© ¹
3–x3–x

EXERCICE I
1°) Une production mensuelle d’un journal « S » est en progression
arithmétique de raison 500. Au cours du premier mois,
15 000exemplaires ont été produits ; on désigne parS la
producn
ième
tion de « S » le nmois (P= 15 000).
1
a) Déterminer la production au cours du deuxième mois.
b) Au bout de combien de mois, la production mensuelle,
aura-telle dépassé 20 000 exemplaires pour la première fois ?
c) Combien