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t
est
t
he
le
Mahmoud
t
1
est
Couplage
de
uides
ère
Lagrangien.
:
t
In
v
1.2
uides/Structures
ordonnés
1
train
F
de
orm
solides
ulation
ecteur
générale
utilisan
du
son
problème
formation
1.1
un
Rapp
particules
elle
masse
des
la
équation
t
de
la
les
des
des
du
uides
la
gé-
le
nérale
particules
Les
dé-
équations
le
régissan
la
t
en
le
souv
mouv
milieu
emen
équations
t
etite
du
solide
uide
est
son
vitesse
t
uide,
l'équation
densité
de
uide,
du
v
pression,
ation
de
de
p
la
t
masse
mouv
et
équations
les
tes,
équations
de
tenseur
Na
solide,
vier-Stok
masse
es,
densité
à
,
sa
rep
v
dans
oir
du
des
forme
placemen
la
de
prend
v
il
Soit
description
et
t
élastiques
(3)
visco
écrites
e,
en
isotrop
t
t
solide
son
le
matériaux
régissan
(1)
Les
les
dé-
où
p
subissan
le
milieu
Dans
t
solide.
le
du
ecteur
nature
des
de
de
end
régissan
dép
la
tes
de
train
du
Équation
des
uide.
tenseur
viscosité
le
est
(4)
la
t
(2)
en
oin
s'écriv
d'un
solides
son
de
les
t
(5)
emen
∂ρ
+∇(ρ~v) = 0
∂t
∂~v fρ +ρ~v∇~v =∇σ
∂t
∂p ∂v ∂v 2f i jσ =−δ +( + )− (∇~v)δij ijij ∂x ∂x ∂x 3j j i
~v = (v ,v ,v ) = (v ,v ,v ) ρ1 2 2 x y z
(x ,x ,x ) = (x,y,z)1 2 2
p
~u = (u ,u ,u ) = (u ,u ,u )1 2 3 x y z
(o,x ,x ,x ) = (o,x,y,z)1 2 3
s̺ σ
2∂ ~u s̺ =∇σ
∂t
sσ
∂u ∂u ∂v ∂v∂p i j i jsσ =−δ +G( + )+ ( + )ij sij ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xj j i j ides
de
en
he
Mahmoud
terface
2
v
est
t
le
e
mo
utuelles
dule
doit
de
la
s'appuie
t,
1.3
le
doit
dans
et
t
forces
déplacen
en
se
1.4
qui
et
tières
olution
fron
au
est
plus
la
nis.
t
osan
te
est
de
sur
vitesse
des
l'in
particule
des
solide,
des
sur
milieu
est
réaction).
la
des
viscosité
La
du
sur
solide.
l'égalité
Dans
d'action
le
t
temp
où
a
le
à
milieu
p
solide
de
est
eet,
élémen
limites
la
aux
souv
est
des
à
ts
et
traitemen
des
aux
et
surface
temps
uide/solide
du
limites
pas
satisfaites
haque
uide/solide
des
à
du
solide
du
sur
demain
umérique
au
l'égalité
maillage
par
du
l'autre
et
l'adaptation
de
t
sur
vien
n
diculté
n
La
implique
littérature.
milieux
la
forces
dans
l'o
publiés
t
de
son
ernan
l'év
résultats
de
des
érature
eu
être
P
joutée
he.
système,
herc
sa
oir
de
adapté
sujet
la
un
métho
t
En
son
ts
des
domaine
métho
une
sur
ec
en
v
(7)
a
la
l'in
pression
à
te
adaptés
équations
umériques
la
n
thermique
des
Conditions
métho
limites
les
la
t
de
endan
Cep
Les
temps.
aux
du
qui
t
être
endan
à
(6)
terface
dép
son
l'égalité
et
vitesses
forme
particules
de
uide
son
du
t
en
les
les
terface
t
(condition
de
et
Lamé,
des
domaines
appliquées
des
un
est
sur
la
(princip
viscosité
d'action
de
de
solide
Les
et
traiter
l'o
est
l'égalité
le
vitesses
l'in
implique
ts
résolution
de
umériques
dilatation
Résolution
et
(9)
our
l'autre
est
l'un
la
des
temp
m
érature.
des
Bien
sûr
(8)
dans
le
e
et
une
réaction,
équation
temps.
gouv
l'in
∂uiG v =i ∂t
s
∂u ∂u ∂v ∂v 2i j i j ssσ =λ δ ∇~u+ ( + )+ ( + )− (∇~v)δ −βδijTe ij e s ijij ∂x ∂x ∂x ∂x 3j i j i
λ βe e s
T
∂T ∂(∇~u)
̺c +̺T =kΔTp
∂t ∂t
c kp
Γ
∂~u
=~v sur Γ(x,y,z,t)
∂t
f s~ ~F =F sur Γ(x,y,z,t)⇔σ ~n =σ ~n sur Γ(x,y,z,t)fluide solideet
donné.
he
t
Mahmoud
du
3
que
forces
utilisan
à
utile
sou-
des
alables
-
négligeables
t
solide.
devien
t
t
précèden
umériques
tité
fait,
l'iden
équations
irrationnel)
an
t
un
nous
Fig.
des
1
ne
Sc
visqueux
hématisation
des
du
deux
due
milieux,
rapp
solide
t
et
v
uide,
haque
en
en
instabilités
1.5
lemen
Appro
De
ximation
est
au
simplier
niv
et
eau
p
des
les
équations
p
de
tage
la
trouv
des
ersions
uides
de
Résoudre
uides
les
t
équations
dans
de
1.5.1
la
uide
irrotationnel
des
uide
uides
-
au
aux
son
équa-
aux
tions
la
de
forces
la
élastique
-
des
irrationnel.
solides
l'iden
sans
suiv
appro
(11)
ximations
pas
est
temps,
une
qui
souv
he
t
souv
des
en
n
t
dici-
très
t
dicile,
hissable.
il
il
très
de
de
mailler
les
le
dynamiques
domaine
t
du
ossible
à
d'obtenir
informations
haque
haitées
ins-
our
tan
mon
t,
Dans
qui
paragraphe,
exige
allons
un
er
temps
v
du
simpliées
équations
quasi
la
prohibitif.
des
De
qui
plus,
son
le
v
remaillage
que
du
des
domaine
particulières
du
Écoulemen
du
non
une
et
extrap
1
olation
Le
des
est
résultats
2
en
Les
tre
dues
viscosité
maillage
uide
à
t
l'instan
t
forces
de
à
et
pression
le
aux
nouv
de
eau
elle
maillage
du
à
3
l'instan
L'écoulemen
t
est
En
t
t
tenan
tité
en
ectoriel
et
an
(10)
à
d'autan
Milieu fluide
Interface Γ (x,y,z,t)
z
n (x,y,z,t)
y
x
Milieu solide élastique
t t+Δt
1
~v∇~v = ∇(~v~v)+(∇∧~v)∧~v
2
∇∧~v = 0
1
~v∇~v = ∇(~v~v)
2de
En
densité
he
donnée
Mahmoud
xe
4
En
frottemen
négligean
b
t
sa
les
joutée
termes
v
dues
translation
à
uide
la
par
viscosité
solide
du
le
uide
trouv
et
(16)
l'équation
et
précéden
solide
te,
notée
les
noté
équations
mouv
de
t
régissan
théorie
t
parfait(
le
négligées).
mouv
le
