Une introduction au processus de Schramm
67
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Français
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Introduction, motivations
Le processus de Schramm
Quelques résultats
Une introduction au processus de Schramm
Jürgen Angst
Institut de Recherche Mathématique Avancée
Université Louis Pasteur, Strasbourg
Séminaire des doctorants,
23 Octobre 2008, Strasbourg
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une introduction au processus de Schramm Introduction, motivations
Le processus de Schramm
Quelques résultats
1 Introduction, motivations
Le modèle de percolation par site
Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
2 Le processus de Schramm
Comment coder une courbe dans le demi plan ?
Courbe aléatoire et invariance conforme
Le processus de Schramm
3 Quelques résultats
Premières propriétés du SLE
Le SLE comme processus limite
Autres propriétés du SLE, conjectures
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une introduction au processus de Schramm Introduction, motivations
Le modèle de percolation par site
Le processus de Schramm
Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
Quelques résultats
Introduction
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une introduction au processus de Schramm Introduction, motivations
Le modèle de percolation par site
Le processus de Schramm
Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
Quelques résultats
Percolation par site sur le réseau triangulaire
On considère un pavage hexagonal du plan. Chaque hexa-
gone est coloré en blanc (resp. gris), indépendamment des
autres, avec une probabilité p (resp. 1 p).
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une ...
Voir
Le processus de Schramm
Quelques résultats
Une introduction au processus de Schramm
Jürgen Angst
Institut de Recherche Mathématique Avancée
Université Louis Pasteur, Strasbourg
Séminaire des doctorants,
23 Octobre 2008, Strasbourg
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une introduction au processus de Schramm Introduction, motivations
Le processus de Schramm
Quelques résultats
1 Introduction, motivations
Le modèle de percolation par site
Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
2 Le processus de Schramm
Comment coder une courbe dans le demi plan ?
Courbe aléatoire et invariance conforme
Le processus de Schramm
3 Quelques résultats
Premières propriétés du SLE
Le SLE comme processus limite
Autres propriétés du SLE, conjectures
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Le modèle de percolation par site
Le processus de Schramm
Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
Quelques résultats
Introduction
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une introduction au processus de Schramm Introduction, motivations
Le modèle de percolation par site
Le processus de Schramm
Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
Quelques résultats
Percolation par site sur le réseau triangulaire
On considère un pavage hexagonal du plan. Chaque hexa-
gone est coloré en blanc (resp. gris), indépendamment des
autres, avec une probabilité p (resp. 1 p).
Séminaire des doctorants, Strasbourg Une ...
Une introduction au processus de Schramm
Institut de Recherche Mathématique Avancée Université Louis Pasteur, Strasbourg
Séminaire des doctorants, 23 Octobre 2008, Strasbourg
Jürgen Angst
Introduction, motivations Le modèle de percolation par site Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
1
musssScdeotartn,sereddscorgUneintStrasbou
Quelques résultats Premières propriétés du SLE Le SLE comme processus limite Autres propriétés du SLE, conjectures
3
Le processus de Schramm Comment coder une courbe dans le demi plan ? Courbe aléatoire et invariance conforme Le processus de Schramm
2
Introduction
Le modèle de percolation par site Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
cSrhmamIeursséluatstusdeSchrammQuelqitavLsnoorpessecrontctdun,iotimontroductourgUnei,stSarbscootartnreaisddeSiném
On considère un pavage hexagonal du plan. Chaque hexa-gone est coloré en blanc (resp. gris), indépendamment des autres, avec une probabilitép(resp.1−p).
Sip≤1/2, presque sûrement il n’y a pas de composante connexe infinie formée d’hexagones blanc.
Sip>1/2, presque sûrement il y a une unique composante connexe infinie formée d’hexagones blanc.
Sip≤pc=1/2on aθ(p) =0et sip>pcon aθ(p)>0.
θ(p) :=Pp(N= +∞), χ(p) :=Ep[N1N<+∞].
SoitCla composante connexe contenant l’origine et N=card(C), on s’intéresse aux quantités :
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θ(p) :=Pp(N= +∞), χ(p) :=Ep[N1N<+∞].
SoitCla composante connexe contenant l’origine et N=card(C), on s’intéresse aux quantités :
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Sip≤pc=1/2on aθ(p) =0et sip>pcon aθ(p)>0.
Sip>1/2, presque sûrement il y a une unique composante connexe infinie formée d’hexagones blanc.
Sip≤1/2presque sûrement il n’y a pas de composante, connexe infinie formée d’hexagones blanc.
mmar
Sip≤1/2, presque sûrement il n’y a pas de composante connexe infinie formée d’hexagones blanc.
Sip>1/2presque sûrement il y a une unique, composante connexe infinie formée d’hexagones blanc.
Sip≤pc=1/2on aθ(p) =0et sip>pcon aθ(p)>0.
θ(p) :=Pp(N= +∞), χ(p) :=Ep[N1N<+∞].
SoitCla composante connexe contenant l’origine et N=card(C), on s’intéresse aux quantités :
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Séminaire des doctorants, Strasbourg
Une introduction au processus de Schramm
Le modèle de percolation par site Limite d’échelle, invariance conforme, universalité
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Que peut-on dire des fonctionsθ(p)etχ(p)au voisinage de la probabilité critiquepc=1/2?
La courbe d’exploration converge-t-elle vers une courbe plane aléatoire lorsque le pas du réseau tend vers zéro ?
Quelles sont les propriétés (géométriques) de la courbe limite ? Comment ces propriétés dépendent-elles du réseau initial ?
mmar
La courbe d’exploration converge-t-elle vers une courbe plane aléatoire lorsque le pas du réseau tend vers zéro ?
Que peut-on dire des fonctionsθ(p)etχ(p)au voisinage de la probabilité critiquepc=1/2?
Quelles sont les propriétés (géométriques) de la courbe limite ? Comment ces propriétés dépendent-elles du réseau initial ?
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Quelles sont les propriétés (géométriques) de la courbe limite ? Comment ces propriétés dépendent-elles du réseau initial ?
La courbe d’exploration converge-t-elle vers une courbe plane aléatoire lorsque le pas du réseau tend vers zéro ?
Que peut-on dire des fonctionsθ(p)etχ(p)au voisinage de la probabilité critiquepc=1/2?
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