Transition to turbulence in linearly stable shear flows [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Armin Schmiegel

Transition to turbulence
in linearly stable
shear flows
DISSERTATION
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
dem Fachbereich Physik der Philipps-Universita¨t Marburg
vorgelegt von
Armin Schmiegel
aus Bremerhaven
Marburg/Lahn 1999
E
S
I
GVom Fachbereich der Physik
der Philipps-Universita¨t
als Dissertation angenommen am 1.12.1999
Erstgutachter Prof. Dr. Bruno Eckhardt
Zweitgutachter Prof. Dr. Florian Gebhard
Tag der mundl¨ ichen Pruf¨ ung: 9.12.1999Weil vor soviel Wunder,
ich nur Armut bin.
Thomas von AquinoContents
1 Turbulenzu¨bergang in linear stabilen Scherstrom¨ ungen VII
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
1.2 Untersuchungen zum Turbulenzube¨ rgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
1.3 Stationa¨re Zusta¨nde in der Ebenen Couette-Strom¨ ung . . . . . . . . . . . . XII
1.4 Untersuchungen zur Vernetzung der stationa¨ren Zusta¨nde . . . . . . . . . . XIV
¨1.5 Der Ubergang zur Turbulenz in einem niedrigdimensionalen Modell . . . . XVI
1.6 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII
2 Introduction 1
3 The plane Couette flow 3
3.1 The plane Couette flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Experimental realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Former investigations of the plane Couette flow . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.1 Transition to turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.2 Coherent structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.3 Theoretical work on the transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Equations of motion, their symmetry and numerical representation . . . . . 8
3.4.1 Equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.2 The and the symmetry groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4.3 The numerical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I
NBCII CONTENTS
4 Transition of finite perturbations in plane Couette flow 11
4.1 Finite perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.1 Finite vortex structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.2 Injected perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Transition to turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.1 Different types of dynamical behavior . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.2 Lifetimes of perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Properties of the turbulent state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 Energy and shear rate statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.2 The distribution of energy and the shear rates of the turbulent state . 25
4.3.3 Escape rate and relaxation rate: timescales on a repellor . . . . . . 25
4.4 Annealing experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Stationary states in plane Couette flow 33
5.1 Numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Classes of stationary states in plane Couette flow . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Topological characterization of the stationary states . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Stationary states in theNBC symmetry group . . . . . . . . . . . . 40
5.3.2 Stationary states in theI symmetry group . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 The wavelength selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1 The optimal aspect ratio for the - and the F-branch . . . . . . . . 48
5.4.2 The lift-up effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.3 Streak breakdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
CONTENTS III
6 Stationary states and the transition to turbulence 57
6.1 Statistical properties of the stationary states and the turbulent state – an in-
terpretation of the annealing experiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Investigation of heteroclinic and homoclinic connecting flows . . . . . . . . 59
6.2.1 Hopf bifurcations of the -node . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.2 The origin of heteroclinic connections – pitchfork bifurcations and
back saddle node bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.3 Investigations of the global flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Transition to turbulence in a low dimensional model 73
7.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Transitional behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Stationary states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.1 Bifurcation of stationary states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3.2 Are stationary states responsible for the formation of the turbulent
state? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 Periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4.1 Poincare´ section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.4.2 Bifurcation of periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.5 Approximative global averaging – application of the periodic orbit theory . 91
7.5.1 Averaging using periodic orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.5.2 Escape rate and the leading Lyapunov exponent . . . . . . . . . . . 94
7.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8 Conclusions 97
A Numerical methods 101
A.1 Imposing constraints in spectral methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IV CONTENTS
A.1.1 Solving constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.1.2 Convergence of the Lagrangian formalism of the kind in respect
to -methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.1.3 Conservation laws and boundary forces . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2.1 The heat transfer equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2.2 The vorticity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.2.3 Linearized Navier-Stokes equation in the case of shear flow geometry 110
A.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B Spectral representation of the investigated symmetries 113
B.1 symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B.2 symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.3 symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.4 symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
C General equations of motion for the -model 115
D Bifurcation of stationary states in plane Couette flow 119
D.1 Stationary states in theNBC group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
D.2 Stationary states in theI group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
E Stationary states in plane Couette flow 125
E.1 NBC group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
E.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
E.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
E.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
E.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
E.2 -group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9
~
1
R
V
st
d

I
P
W
D
B
C
ACONTENTS V
E.2.1 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
E.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
E.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Danksagung 141
List of figures 143
Liste of tables 149
Bibliography 151
G
FVI CONTENTS