Principes de dénombrement
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Principes de dénombrement. Dénombrement desp-listes,
des arrangements et des permutations. Exemples de
situations dont l’étude se ramène aux cas précédents.
Dany-Jack Mercier
IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,
BP399, Pointe-à -Pitre cedex 97159, France
dany-jack.mercier@univ-ag.fr
28 mai 2002
¤Si F est un ensemble …ni, on note #F son cardinal. Si p 2 N on pose N = f1; :::; pg.p
En…n, dans toute la suite, A désigne l’ensemble …ni A = fa ; :::;a g de cardinal n ¸ 1.1 n
Le premier paragraphe est constitué de rappels. Pour un exposé de 25 minutes, on se
contentera de rappeler brièvement le principe du berger.
1 Principes de dénombrement
Le langage privilégié du dénombrement est celui des ensembles. Il suppose connu la notion
de cardinal d’un ensemble …ni, et celle de partition d’un ensemble.
Tous les problèmes de dénombrement se résolvent en utilisant les deux principes ci-dessous,
et l’on remarquera que le principe du berger provient directement de celui de la somme, si
bien que l’on puisse a¢rmer de faç on abrupte qu’un seul principe est àla base de toutes
les opérations de dénombrement : le principe de la somme.
Lemme 1 Principe de la somme
Si A ; :::; A est une partition de l’ensemble … ni A, alors #A = #A + ::: + #A .1 k 1 k
Preuve : On raisonne par récurrence sur k. La propriété est triviale si k = 1. Si k = 2,
considérons une partition A ; A de A. Si l’on note n le cardinal de A , on sait l’existence1 2 i i
de deux bijections f : N ! A (i = 1;2) et on véri…e que ...
Voir
des arrangements et des permutations. Exemples de
situations dont l’étude se ramène aux cas précédents.
Dany-Jack Mercier
IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,
BP399, Pointe-à -Pitre cedex 97159, France
dany-jack.mercier@univ-ag.fr
28 mai 2002
¤Si F est un ensemble …ni, on note #F son cardinal. Si p 2 N on pose N = f1; :::; pg.p
En…n, dans toute la suite, A désigne l’ensemble …ni A = fa ; :::;a g de cardinal n ¸ 1.1 n
Le premier paragraphe est constitué de rappels. Pour un exposé de 25 minutes, on se
contentera de rappeler brièvement le principe du berger.
1 Principes de dénombrement
Le langage privilégié du dénombrement est celui des ensembles. Il suppose connu la notion
de cardinal d’un ensemble …ni, et celle de partition d’un ensemble.
Tous les problèmes de dénombrement se résolvent en utilisant les deux principes ci-dessous,
et l’on remarquera que le principe du berger provient directement de celui de la somme, si
bien que l’on puisse a¢rmer de faç on abrupte qu’un seul principe est àla base de toutes
les opérations de dénombrement : le principe de la somme.
Lemme 1 Principe de la somme
Si A ; :::; A est une partition de l’ensemble … ni A, alors #A = #A + ::: + #A .1 k 1 k
Preuve : On raisonne par récurrence sur k. La propriété est triviale si k = 1. Si k = 2,
considérons une partition A ; A de A. Si l’on note n le cardinal de A , on sait l’existence1 2 i i
de deux bijections f : N ! A (i = 1;2) et on véri…e que ...
pincie de dénômemen. Dénômemen deplie, de ààngemen e de emûàiôn.Exemle de iûàiôn dôn l’éûde e àmène àûx cà écéden. DànyJàck Mecie IÛFM de Gûàdelôûe, Mône Fee, Bp399, pôineàpie cedex 97159, Fànce dànyjàck.mecie@ûniàg.f 28 mài 2002
¤ iFe ûn enemle…ni, ôn nôe#Fôn càdinàl.ip2Nôn ôeNp=f1p: : ;; :g. En…n, dàn ôûe là ûie,Adéigne l’enemle…niA=fa1; :: : ;angde càdinàln¸1. Le emie ààgàhe e côniûéde àel.pôû ûn exôéde 25 minûe, ôn e côneneà de àele ièemen le incie dû ege.
1 Principesde dénombremen Le làngàge iilégiédû dénômemen e celûi de enemle.Il ûôe cônnû là nôiôn de càdinàl d’ûn enemle…ni, e celle de àiiôn d’ûn enemle. ôû le ôlème de dénômemen e éôlen en ûiliàn le deûx incie cideôû, e l’ôn emàûeà ûe le incie dû ege ôien diecemen de celûi de là ômme, i ien ûe l’ôn ûie à¢me de fàçôn àûe û’ûn eûl incie eàlà àe de ôûe le ôéàiôn de déle incie de là ômme.nômemen : Lemme 1Principe de la somme SiA1; :: : ;Akne partition de lest û’ensemble…niA, alors#A= #A1+: : :+ #Ak. PreUVe :Ô n àiônne à écûence ûk. Làôiéée iiàle ik= 1. ik= 2, cônidéôn ûne àiiônA1; A2deAl. i’ôn nôenile càdinàl deAi, ôn ài l’exience (i= 1;2) e ôn éi…e û de deûx ijeciônfi:Nni!Aie l’àlicàiôn N!A=A[A f:n1+n21 2 dé …nie àf(n) =f1(n)in·n1ef(n) =f2(n¡n1)in > n1, e ûne ijeciôn. Là ôiééàû àng2û¢àôûe ûe là ôiéée héédiàie. Ene¤e, i là fômûle e ài àû àngk, e iA1; :A: : ;k+1déigne ûne àiiôn deA, là àie 0 [cden0001] 1.00h://eô.wànàdôô.f/megàmàh °D.J. Mecie. vôû ôûez fàie ûne côie de ce nôe ôû ôe ûàge eônnel.c 2002,
1
fA[: : :[A ; Age ûne àiiôn deA. Ô nà dônc 1k k+1 #A(= #A[: : :[A) + #A 1k k+1 e l’hyôhèe écûene enàîne ien#A= #A1+: : :+ #Ak+ #Ak+1. Le incie de là ômme enàîne immédiàemen le héôème ûiàn : héorème 1SiAetBsont deûX parties d’û nensemble…niE, alors ¡ ¢ 1)#{A= #E¡#A. 2)# (A[B) = #A+ #B¡# (A\B)et plûs généralement, siA1; :: : ;Apsont des parties deE, X X # (A1[: : :[Ap#) =Ai¡# (Ai\Aj) +: : : i i<j X k+1p+1 1ik) +: :+ (¡(1) #A1\: :\Ap) + (¡(1) #Ai\: :\A i <:: : <i 1k © ª PreUVe :1) Là àieA;{Afôme ûne àiiôn deA. 2) Ô n àiônne à écûence ûk. ik= 1i, là fômûle e iiàle.k= 2, ôn inôdûi là àiiôn ûiàne deA1[A2: A[A= (AnA)[(AnA)[(A\A) 1 21 22 11 2 ôû ôeni # (A1[A2) = #(A1nA2) + # (A2nA1) + # (A1\A2) = [#(A1nA2) + # (A1\A2)] + [# (A2nA1) + # (A1\A2)] ¡# (A1\A2) = #(A1) + # (A2)¡# (A1\A2): Aû àngk+ 1, ôônB=A1[: : :[Akà. Ô n # (A[: : :[A) = #(B[A() = #B) + # (A)¡# (B\A): 1k+1k+1k+1k+1 L’hyôhèe écûene imliûe àlô k X X ¡ ¢ j+1 # (A[: : :[A() =¡\: : :\A 1k+11) #Ai1ij+ # (Ak+1) j=1 1·i1<: : : <ij·k ¡# (B\Ak+1) e # (B\Ak+1) = #((A1\Ak+1)[: : :[(Ak\Ak+1)) k X X ¡ ¢ j+1 = (\ \A : ¡1) #Ai1: : :\Aijk+1 j=1 1·i1<: : : <ij·k Ce deûx denièe exeiôn enàînen ien là fômûle àû àngk+ 1. Le incie de là ômme enàîne àûi le célèe :
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Lemme 2Principe du berger (ou principe des tiroirs) Sif:E!Fest ûne application sûrjectiVeàValeû rn ensembledans û…niF, et s’il eXiste ¡ ¢ ¤ ¡1 p2Ntel qûe#f(fyg) =ppoû rtoû ty2F, alors#E=p£#F. : S ¡1¡1 PreUVen à là àiiôn: ÔE=f(F) =f(fyg)deEen#Fôûenemle y2F P¡ ¢ ¡1 cônenàn chàcûnpélémen, d’ôù#E= #f(fyg) =p£#F. y2F Dàn le ààgàhe ûiàn, ôn dénôme deplie àn û’il ôi néceàie de cônnàîe le càdinàl dû ôdûi càéien depenemle…ni. Ô neû néànmôin éfée càlcûle ce càdinàl e àliûe le éûlà ôû ôeni le nôme deplie. C’e ûne à¤àie de chôix. àelôn ûe le ôdûi càéien de deûx enemle…niA1[: : :[Ape l’enemle de ûie…nie(a1; :: : ;ap)ôùai2Aiôû ôûi, l’ôde de eme de ce ûieéàn imôàn. Ceenemle e nôéA1£: : :£Apcee d. Aecé …niiôn : Lemme 3Principe du produit Si#Ai=nitoû tpoû ri, alors# (A1£: : :£Ap) =n1£: : :£np. PreUVe :Le éûlà e iiàl ûàndp= 1. Aûàngp+ 1, ôn dé …ni là ûjeciôn f:A£: : :£A£A!A 1p p+1p+1 (a ; a: : ;a ; :)7!a 1p p+1p+1 ¡1 Cômme#f(fap+1g() = #A1£: : :£Ap) =n1£: : :£npà àlicàiôn de l’hyôhèe écûene, le incie dû ege enàîne # (A1£: : :£Ap+1) = #(A1£: : :£Ap)£# (Ap+1) =n1£: : :£np+1:
2 Dénombremen desplis es Dé …1ni ionÛnepliste d’éléments deA(on dit aûssi :û ne”pliste deA”) est û nesû itedepéléments deA. Onappelleproduit cartésiendepcopies deAl’ensemble formédesplistes deA. Onle note p A=A£: : :£A: | {z } pfacteû rs Ûneplie deA’éci dônc(x1: : ;x; :p)ôùxi2Aôû ôûi. Ô nemàûeà ien ûe l’ôde de eme d’ûnepà exemle lelie e imôàn :3lie(a; b; c)e(b; a; c) ôn di¤ éene. Ceendànle eme de là lie eûenêe ééé àûàn de fôi û’ôn le déie. héorème 2tant deIl Y a aûplistes deAdqû e’applications deNpdansA. PreUVe: L’àlicàiôn p ª:F(Np; A)!A f7!(f(1): : ;; :f(p)) ôùF(Np; A)déigne l’enemle de àlicàiôn deNpdànA, e ijecie.
3
p p héorème 3#A=n PreUVe:Premièionre solU: Ô ncônûi ûn àe de chôix. Il y ànchôix dû emie p eme de là lie,nchôix dû ecônd eme, ...ôi en ôûn£n: : :£n=nàncheàce àe. Leecôûàûn àe eme de iûàlie chàcûne deplie, mài là jûi…càiôn igôûeûe d’ûn el éûlà e feà à exemle en càlcûlàn à écûence le càdinàl dû ôdûi càéien depenemle…ni (cf Lemme 3). DeUXièionme solU: écûence ûpôûn…xé. Leéûlà e iiàl ip= 1. ûôônle ài àû àngp. L’àlicàiôn”eiciôn” ª:F(Np+1; A)! F(Np; A) f!7fj Np e ûjecie.ig2 F(Np; A), e iª(f) =g,fe àfàiemen cônnûe û chàcûn de ¡1 enie1,: : :,p, e eûlf(p+ 1)eàchôii dànA. Aini#ª(g) =ne le incie p+1 dû ege enàîne#F(Np+1; A) =n#F(Np; A) =n : n Corollaire 1Le cardinal de l’ensembleP(A)des parties deAest2. PreUVe: Achàûe àieXdeAôn àôcie là fônciôn cààcéiiûeÂdé …nie à X Â(x) = 1ix2X, eÂ(x) = 0inôn. Ôn ôien ûne ijeciôn deP(A)û X X F(A;f0;1g).
3 DépermU a ionse desarrangemen snombremen des Dé …ni ion2Ûnarrangement depéléments deAû n(on dit encore :parrangement deA) est ûnepliste deAformée d’éléments deûXàdistincts. Ûnedeû Xpermutation deAnest ûnarrangement deA. héorème 4Il Y a aûtant deparrangements deAqû ed’applications injectiVes deNp dansA. PreUVe: L’àlicàiôn ª:I(N; A)! A p f!7(f(1); :: : ;f(p)) ôùI(Np; A)déigne l’enemle de àlicàiôn injecie deNpdànA, eAl’enemle de ààngemen deA, e ijecie.
Dé …ni ion3Le nombre d’arrangements depéléments d’ensembleû nànéléments est p notéAn.
héorème 5On a
oùn! :=n£(n¡1)£
n! p A=n(n¡1): : :(n¡p+ 1) = n (n¡p)! £2£1et0! := 1.
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PreUVe:Premièionre solU: Ô ncônûi ûn àe, ce ûi eienàfàie le àiôn nemen ûiàn.Il y ànÛne fôi cechôix ôile ôû le emie eme de là lie. chôix e¤ecûé, il een¡1chôix ôile ôû le deûxième eme de là lie, e àini de ûie... Finàlemen,il eeàn¡p+ 1ôiilié ôû lepième eme de là lie.Le nôme de ànche de l’àe eà dôncn(n¡1): : :(n¡p+ 1). DeUXièionme solU: Ôn dénômeI(Np; A)à écûence ûpôûn…xé. Le éûlà e iiàl ip= 1. ilà fômûle e ôûée àû àngp, mônônlà àû àngp+ 1. L’àlicàiôn”eiciôn” ª:I(Np+1; A)! I(Np; A) f!7fjN p e ûjecie.ig2 I(Np; A), e iª(f) =g,fe cônnûe û chàcûn de enie1p; :: : ;. Le ôlôngemen defôile déenden eûlemen dû chôix def(p+ 1)dànA, e ¡1 feà injecie i, e eûlemen i,f(p+ 1)2Anf(Np)àûà. Ô n#ª(g) =n¡pe le incie dû ege enàîne #I(Np+1; A) = (n¡p) #I(Np; A) ôi#I(Np+1; A) = (n¡p) [n(n¡1): : :(n¡p+ 1)]à l’hyôhèe écûene. RemarqUeûne jûi: Dônnôn…càiôn igôûeûe de l’ûiliàiôn d’ûn àe dàn là démônàiôn dû héôème écéden. pôûcelà, àiônnôn à écûence ûn. Nôôn An(p)l’enemle depààngemen d’ûn enemleAànélémen, e cônidéôn là ôiéé H(n) :”# (An(p)) =n(n¡1): : :(n¡p+ 1)ôû ôûp2 f1n: : ;; :g.” Là ôiééH(1)i là ôie iiàle.ééH(n)e àie, cônidéôn là ôjeciôn ¼:An(p)!A (a1a: : ;; :p)!7ap: ip= 1, àlô# (An(1)) =ne iiàl.ip >1, nôôn ûe là ôjeciôn¼e ûjecie e éi…e ¡ ¢ ¡1 8a2A#¼(fag# () =A(p¡1)): n¡1 Le incie dû ege dônne # (An(p)) =n£# (An¡1(p¡1)) e l’hyôhèe écûene ’éci # (An¡1(p¡1)) = (n¡1): : :((n¡1)¡(p¡1) + 1) = (n¡1): : :(n¡p+ 1): Dônc # (An(p)) =n(n¡1): : :(n¡p+ 1) e là ôiééH(n)e ien démônée.
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