Domaines nodaux et partitions spectrales minimales
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Domaines nodaux et partitions spectrales minimales
¨Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Bernard HELFFER, Universit´e Paris Sud
Gr´egory VIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Mots-cl´es : domaine nodal, 3-partition, modes propres du ...
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¨Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Bernard HELFFER, Universit´e Paris Sud
Gr´egory VIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Mots-cl´es : domaine nodal, 3-partition, modes propres du ...
Domaines nodaux et partitions spectrales minimales ¨ Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne Bernard HELFFERni,Ue´tisrevduSsiraP Gre´goryVIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne Mots-cl´es:domaine nodal, 3-partition, modes propres du Laplacien. 2 Onconside`reundomaineborne´ΩdeR.exeosnOiahuocet´e,rligueternncortemprendrelelienen certainesk-partitions de Ω et les ensembles nodaux des vecteurs propres du Laplacien sur Ω avec condition k de Dirichlet.On noteDkl’ensemble desk-partitionsD= (Di)i=1de Ω telles que Int(∪iDi)\∂Ω = Ω.
Onde´finitalors Lk(Ω) = inf{max{λ1(Di), i= 1, . . . , k},D ∈ Dk}, e ou`λj(Daelgne´isd)jpitetsplupruelavelederpornsieurar´ealisationdeDricilhteudaLlpcaD. Une partitionquire´aliseleminimumestappel´eek-partition minimale.Il est facile de montrer que
L2(Ω) =λ2(Ω).
e Danscecas,lesensemblesnodauxdu2vecteurproprefournissentune2-partitionminimale.De`sque k≥Si on note3, les choses ne sont plus aussi simples.Lk(Ω) la plus petite valeur propre telle qu’il existe unefonctionpropreassoci´eequipose`dekensembles nodaux, alors on peut montrer que
λk(Ω)≤Lk(Ω)≤Lk(Ω).
Iln’estpasdifficiledevoirquepourlecarr´eetledisque,ona´egalite´danslarelationpr´ece´dentepour k= 1,2,orsqctelstriit´eeu´nitlagee4ksen,uostsereser.3nE=urfigonxcauntnaiguqirte´myssnoita utilisonslam´ethodedes´ele´mentsfinispourconstruiredescandidatsaux3-partitionsminimalesdudisque etducarre´.
Nousrappelleronsquelquesre´sultatsde[3]surlespartitionsminimalesetproposeronsdessimulations num´eriques(voir[1,2])pourconfortercertainesconjectures.
Re´f´erences [1]V.nnBollai-NiedG.Vial¨oleB,H.leffrena,Numerical simulations for nodal domains and spectral minimal partitions,07-,RMARpiuobnlIiPcra´et00.7532, [2]ndla¨eNoe-liilnaB.noVlaiV.G,Computations for nodal domains and spectral minimal parti-tions,http://www.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/MinimalPartitions, 2008. [3]B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S. Terracini,Nodal domains and spectral minimal partitions80.P,20l’IHesdennalAxuaertıˆarapA,
¨ Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz Virginie.Bonnaillie@bretagne.ens-cachan.fr Bernard HELFFERSud,91405OrsaycedneUxvireis´tPerasiquti,Best.ˆa5,42emetedtnhtaMame´epar,D´ Bernard.Helffer@math.u-psud.fr Gr´egoryVIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz Gre´gory.Vial@bretagne.ens-cachan.fr
