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Sur une mesure d eﬃcience relative dans la thØorie
∗du portefeuille de Markowitz
Patrick Roger-Maxime Merli
Septembre 2001
Abstract
Dans cet article, nous proposons un indice deﬃcience relative des porte-
feuilles de titres permettant le classement dun ensemble de portefeuilles en
considØrant que lunivers d investissement est rØduit lensemble des titres
classer. Cet indice est basØ sur l Øquation de la frontiŁre eﬃciente des oppor-
tunitØs dinvestissement retenues ; il ne nØcessite pas de rØfØrence un taux
sans risque ou un benchmark extØrieur. En consØquence, des portefeuilles
de nature diﬀØrente peuvent Œtre classØs ; la principale limite de cet indice
est toutefois l impossibilitØ de classer les portefeuilles situØs dans la partie in-
fØrieure de la frontiŁre, cest- -dire ceux qui sont dominØs par le portefeuille de
variance minimum.
1 Introduction
1Chaque annØe, les professionnels de marchØ, la presse nanciŁre et mŒme gØnØraliste
se livrent l exercice pØrilleux consistant opØrer un classement des SICAV et FCP;
cette information est essentiellement destinØe aux investisseurs individuels, clients
actuels ou potentiels des diﬀØrents fonds. Pourtant les gØrants de fonds voient dans
ces classements la rØcompense de leur travail acharnØ ou la promesse de lendemains
qui dØchantent. Il est nØanmoins devenu de plus en plus complexe d opØrer de tels
classements et ceux-ci se font gØnØralement par catØgories de fonds. Dans le palmarŁs
∗Nous remercions Laurent Weill, Jacques ...

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Sur une mesure de ﬃ cience relative dans la théorie du portefeuille de Markowitz ∗ Patrick Roger- Maxime Merli  Septembre 200 1

Abstract Dans cet article, nous proposons un indice de ﬃ cience relative des porte-feuilles de titres permettant le classement dun ensemble de portefeuilles en considérant que lunivers dinvestissement est réduit à lensemble des titres à classer. Cet indice est basé sur léquation de la frontière e ﬃ ciente des oppor-tunités dinvestissement retenues ; il ne nécessite pas de référence à un taux sans risque ou à un benchmark extérieur. En conséquence, des portefeuilles de nature di ﬀ érente peuvent être classés ; la principale limite de cet indice est toutefois limpossibilité de classer les portefeuilles situés dans la partie in-férieure de la frontière, cest-à-dire ceux qui sont dominés par le portefeuille de variance minimum.

1 Introduction Chaque année, les professionnels de marché, la presse Þ nancière et même généraliste 1 se livrent à lexercice périlleux consistant à opérer un classement des SICAV et FCP; cette information est essentiellement destinée aux investisseurs individuels, clients actuels ou potentiels des di ﬀ érents fonds. Pourtant les gérants de fonds voient dans ces classements la récompense de leur travail acharné ou la promesse de lendemains qui déchantent. Il est néanmoins devenu de plus en plus complexe dopérer de tels classements et ceux-ci se font généralement par catégories de fonds. Dans le palmarès ∗ Nous remercions Laurent Weill, Jacques Thépot, Olivier Renault pour leurs commentaires lors de lélaboration de ce travail, ainsi que les participants du séminaire LARGE de Strasbourg et des Journées Internationales de lAFFI, Namur 200 1 . Nous remercions également Vincent Cayrol pour nous avoir signalé une erreur dans une précédente version.  Université Louis Pasteur, Strasbourg I : roger@cournot.u-strasbg.fr  Université de Franche-Comté : merli@cournot.u-strasbg.fr 1 Le journal Le Monde propose régulièrement un palmarès européen des SICAV, en collaboration avec la société Aptimum (www.aptltd.com), fondé sur lAPT de Ross ( 1 976).

du journal Le Monde, par exemple, il existe une centaine de catégories et le classement dun fonds est réalisé à lintérieur de sa catégorie. La raison de cette catégorisation est simple ; une SICAV actions françaises et une SICAV actions allemandes sont évaluées par rapport à deux benchmarks di ﬀ érents et chacune est classée au sein dun groupe relativement homogène. Dans un marché de la zone euro sur lequel les investisseurs ne supportent plus de risque de change, lensemble de portefeuilles accessibles sest considérablement élargi et plusieurs milliers de fonds peuvent être choisis. Il est clair quun investisseur restreindra ses choix à un sous-ensemble mais ce dernier na aucune raison dêtre homogène, au sens précédemment évoqué. La question que nous souhaitons aborder dans ce cadre est celle de la détermi-nation dun indice de performance relatif, dans un sous-ensemble donné de fonds, sachant que dans lensemble des opportunités, il semble di ﬃ cile de trouver un bench-mark applicable à tous les véhicules dinvestissement considérés. Par ailleurs, la seule information que nous supposons disponible est lhistorique valeurs liquidatives. En dautres termes, compte tenu de lactivité des gérants, il nest en général pas possible de dupliquer cette suite de valeurs liquidatives par un portefeuille statique, quel que soit lensemble des titres individuels considéré. Pourtant, la question de la comparaison dun fonds investi majoritairement en actions et obligations allemandes et dun portefeuille identique mais investi sur le marché espagnol, est tout à fait dactualité. Par contre la connaissance des perfor-mances de ces fonds par rapport aux indices des bourses de Francfort et Madrid nest pas su ﬃ sante pour opérer un classement. La théorie Þ nancière propose de nombreux indicateurs de performance dont lob-jectif est la prise en compte du trade-o ﬀ entre risque et rentabilité. On peut cependant diviser lensemble de ces indicateurs en deux grandes catégories selon que lévolution de la composition des portefeuilles est supposée connue ou non. Nous allons nous intéresser à cette dernière, en considérant un investisseur qui souhaiterait comparer les performances dun ensemble de véhicules dinvestissement collectif de la zone euro. Les ratios de Sharpe ( 1 966), de Treynor ( 1 965), ou le α de Jensen( 1 968) sont les exemples standards de critères de performance prenant en compte le trade-o ﬀ rentabilité-risque, même si le premier dé Þ nit le risque à partir de lécart-type des rentabilités alors que les deux autres prennent en considération le β du portefeuille analysé. De manière générale, ces indicateurs supposent lexistence dun actif sans risque et/ou celle dun portefeuille de marché (ou dun benchmark commun). Ils reposent en fait sur lidée de diversi Þ cation optimale en référence à la théorie du portefeuille de Markowitz ( 1 952-1 959) ou au MEDAF 2 . Dans le contexte du marché euro, lutilisation dun proxy comme lindice Euro-Stoxx50 est encore plus délicate que la référence au CAC40 pour le marché français et la célèbre critique de Roll ( 1 977) concernant le choix du portefeuille de référence prend 2 Modèle dEquilibre des Actifs Financiers de Sharpe ( 1 964), Lintner ( 1 965) et Mossin ( 1 966).

ici tout sons sens. Par ailleurs, la plupart des fonds auxquels nous faisons référence sont constitués dactions et dobligations, cest-à-dire dactifs risqués, avec une part très faible réservée au cash, cest-à-dire à linvestissement en actif sans risque. En Þ n, comme nous lavons mentionné plus haut, nous ne connaissons pas la composition des portefeuilles de ces fonds ni lévolution de celle-ci. Compte tenu de ces contraintes, nous proposons dans cet article une mesure def-Þ cience relative des portefeuilles (permettant donc dopérer un classement), le terme relatif signi Þ ant que lunivers des opportunités dinvestissement est réduit à lensem-ble des fonds étudiés. Lindice que nous proposons repose sur le calcul de la frontière e ﬃ ciente des actifs risqués (Merton, 1 972, Black, 1 972), les actifs étant ici les fonds analysés. Nous mesurons ensuite, pour chacun des portefeuilles considérés une sorte de distance par rapport à cette frontière et ce critère va permettre de classer les portefeuilles 3 . Cet indice présente lavantage de ne pas faire référence au taux sans risque ou à un benchmark prédéterminé ; cependant, le portefeuille de variance min-imum joue un rôle particulier et sert de référence implicite. Toutefois, notre indice de ﬃ cience relative dépend de lensemble des fonds retenus au départ de lanalyse et que lon cherche à classer. Larticle est organisé de la manière suivante. La section 2 rappelle brièvement les critères classiques de performance et cette section sappuie sur larticle de Grinblatt et Titman ( 1 995). Dans la section 3, nous calculons la frontière e ﬃ ciente et rappelons les propriétés du portefeuille de variance minimum. La section suivante décrit lindice proposé et établit ses propriétés essentielles. En Þ n, la section 5 développe, par une approche de simulation, une illustration ainsi quune comparaison avec lindice de Sharpe.

2 Les indices classiques de performance Les deux éléments essentiels intervenant dans la formulation dun indice de perfor-mance sont, dune part, lexpression de la rentabilité relativement à une référence prédé Þ nie et, dautre part, lajustement au risque de cette mesure de rentabilité. Les trois critères que nous rappelons brièvement dans cette section sont les ratios de Sharpe ( 1 966) et Treynor ( 1 965) ainsi que le coe ﬃ cient α de Jensen ( 1 968). Le point commun de ces trois critères est la nécessité de disposer dun taux sans risque de référence. Celui-ci intervient de manière directe dans les deux premiers ratios et de manière implicite dans le α de Jensen. De plus, les deux derniers critères sappuient sur le MEDAF alors que le ratio de Sharpe est fondé sur le risque total du portefeuille mesuré par lécart-type des rentabilités. Cette formulation est toutefois discutable car, comme le remarquent Grinblatt et Titman ( 1 995), elle suppose implicitement 3 Dans lesprit, notre indicateur suit plutôt une démarche analogue à celle que lon trouve dans les méthodes DEA (Data Envelopment Analysis) de Charnes, Cooper et Rhodes ( 1 978). La di ﬀ érence importante est que nous ne pouvons nous restreindre à des combinaisons linéaires de variances car les covariances des rentabilités ne peuvent pas être négligées. 3

que linvestisseur investit dans un seul fonds alors quil peut sans di ﬃ cultés opérer une diversi Þ cation sur plusieurs portefeuilles. Pour la formulation de ces trois critères nous supposons que le marché Þ nancier comporte N titres, caractérisés par le vecteur des rentabilités r  despérance r ∈ R N et une matrice de variance-covariance Σ de dimensions ( N, N ) . Un portefeuille est un vecteur 4 y 0 = ( y 1 , ..., y N ) véri Þ ant y 0 1 =1 où 1 est un vecteur de R N dont toutes  les composantes sont égales à 1 . On note R y = y 0 r  la rentabilité du portefeuille y et R ¯ y = E ³ R  y ´ son espérance. On a de plus σ y 2 = y 0 Σ y qui désigne la variance de rentabilité de y. β y = σσ MeM ´ y est le coe ﬃ cient β du portefeuille y où σ M y est la covariance de la  rentabilité du portefeuille y avec celle du portefeuille de marché R M . En Þ n, r f désigne le taux sans rique. 2.1 Le ratio de Sharpe Il est noté S y pour un portefeuille y et dé Þ ni par : ¯ SR y − r f y = σ y Dans lespace écart-type, espérance (noté ( σ , e ) dans la suite) ce ratio exprime la pente du segment joignant le point A f représentatif de lactif sans risque, de coor-données (0 , r f ) et le point B y de coordonnées ¡ σ y , R ¯ y ¢ représentatif du portefeuille y. Dans cet espace ( σ , e ) , le portefeuille y ∗ qui maximise le ratio de Sharpe est donc celui pour lequel le segment joignant A f et B y ∗ est tangent à la frontière e ﬃ ciente. Il sagit donc du portefeuille de marché, si lon envisage le contexte du CAPM. 2.2 Le ratio de Treynor Le ratio de Treynor dun portefeuille y est dé Þ ni par : ¯ T = R y β − y r f y Dun point de vue économique, la di ﬀ érence essentielle avec le ratio précédent réside dans la mesure de risque qui normalise lexcès de rentabilité. T y considère explicitement que, comme seul le risque systématique est rémunéré par le marché, cest le coe ﬃ cient β qui doit servir dunité de risque et la performance dun portefeuille doit être jugée uniquement sur ce critère. La relation caractéristique du CAPM sécrit : R ¯ y − r f = β y ¡ R ¯ M − r f ¢ ( 1 ) 4 y 0 désigne le transposé du vecteur-colonne y

Par conséquent, un portefeuille situé sur la droite de marché des capitaux aura ¯ un T y égal à R M − r f . Si un gérant possède une capacité de gestion supérieure à la moyenne, le ratio de Treynor sera supérieur à lexcès de rentabilité du portefeuille de marché. Les avantages de ce critère par rapport au précédent sont clairs et ont déjà été men-tionnés plus haut. Ses inconvénients le sont presque autant par rapport au problème que nous considérons dans cet article. Il est nécessaire de disposer dun portefeuille de marché unique 5 ; il en est de même pour le taux sans risque. De ce fait, ce critère semble di ﬃ cilement utilisable pour comparer di ﬀ érentes SICAV de la zone euro si lon souhaite pouvoir comparer des fonds essentiellement domestiques constitués par des titres de pays distincts.

2.3 Le α de Jensen Ce coe ﬃ cient est fondé sur la même idée que le ratio de Treynor tout en ayant une formulation additive alors que la formulation du précédent était multiplicative. Le coe ﬃ cient α de Jensen est dé Þ ni pour un portefeuille y par : α y = R y − r f − β y ¡ R ¯ M − r f ¢ ¯ Au regard de la relation ( 1 ), linterprétation est immédiate. Un portefeuille pos-sédant un coe ﬃ cient α y signi Þ cativement positif surperforme car il se situe au dessus de la droite du marché des capitaux. On peut donc classer les portefeuilles par ordre de coe ﬃ cient α décroissant. Les di ﬃ cultés sont les mêmes que pour le ratio précédent puisquici encore, la validité du CAPM est requise pour utiliser cette approche. De manière plus générale, lorsque le CAPM est véri Þ é et que le benchmark retenu pour létude empirique est e ﬃ cient, tout portefeuille passif (répondant à une stratégie ¯ de buy and hold) est e ﬃ cient et possède un T égal à R M − r f et un α égal à 0. Tous les portefeuilles passifs sont donc équivalents au regard de ces deux critères. A linverse, si le benchmark nest pas e ﬃ cient, la critique de Roll ( 1 977) prend tout son sens, à savoir que les rangs de deux portefeuilles peuvent être inversés si lon change de benchmark.

3 Frontière e ﬃ ciente et portefeuille de variance minimum 3.1 Notations et hypothèses Soit un marché Þ nancier comportant N titres caractérisés par le vecteur des es-pérances de rentabilité r et une matrice de variance-covariance Σ ; soit un ensemble 5 Dun point de vue théorique le portefeuille de marché est évidemment unique mais il est clair que les proxys retenus pour lanalyse empirique dépendent le plus souvent de la nature des titres détenus. Sil sagit dactions françaises, on retiendra plus facilement le CAC40 que lEuro-Stoxx50. 5

de portefeuilles (des SICAV par exemple) ¡ x 1 , ..., x K ¢ ∈ ¡ R N ¢ K dont le vecteur des espérances de rentabilité est noté R ∈ R K et la matrice de variance-covariance V de dimensions ( K, K ) . Les lois des rentabilités des titres individuels sont inconnues mais par contre R et V sont supposées connues ou peuvent être estimées à partir des données observées sur la valorisation de ces portefeuilles. Cette hypothèse traduit le fait que le marché des titres individuels est très important et que les gérants de SICAV investissent sur des sous-ensembles de ces N titres. Ce peut être le cas si lon cherche, par exemple, à comparer des véhicules dinvestissement internationaux. Les hypothèses habituelles sur V et R sont les suivantes : H1 : V est dé Þ nie positive H2 : Il existe au moins deux portefeuilles j et k tels que R j 6 = R k . H3 : Le marché est parfait ; il nexiste ni coûts de transaction, ni restrictions sur les ventes à découvert. Si H1 nétait pas véri Þ ée, on pourrait construire un portefeuille sans risque et lon se situe alors dans une problèmatique di ﬀ érente. Si H2 nest pas véri Þ ée, tous les portefeuilles ont même espérance de rentabilité et le problème ne présente aucun intérêt. Lobjectif est ici de déterminer un classement de ces portefeuilles sur la base des couples R k et σ k 2 = V kk , toutefois considérés dans un ensemble de titres déter-miné. Ceci signi Þ e en particulier que lindice de performance doit faire intervenir de manière plus ou moins explicite les autres titres en présence. Il sagit en fait de dé Þ nir une relation de préférence º sur la base des rentabilités espérées et des variances de ces rentabilités. Cette relation de préférence doit au minimum véri-Þ er les critères élémentaires associés au problème doptimisation dun agent dans un espace espérance-variance, à savoir que de deux portefeuilles ayant même variance de rentabilité, celui qui a une espérance de rentabilité supérieure est préféré et si deux portefeuilles générent la même rentabilité espérée, celui qui a la variance de rentabilité la plus faible sera choisi par tout agent. Lintérêt dune relation de préférence générale réside dans la possibilité de classer deux portefeuilles dont les espérances et les variances de rentabilité sont classées dans le même ordre et quil ny a donc pas de relation de dominance évidente entre eux.

3.2 Léquation de la frontière e ﬃ ciente Nous appelons frontière e ﬃ ciente, les combinaisons de SICAV y = ( y 1 , ..., y K ) solu-tions du problème classique (Markowitz, 1 952) doptimisation : min y 12 y 0 V y (2)

sous les contraintes :

0 y 1 = 1 6

y 0 R ≥ e où 1 est un vecteur de R K dont toutes les composantes sont égales à 1 et e désigne la rentabilité espérée. Il est utile de remarquer que cette frontière e ﬃ ciente nest pas celle que lon obtiendrait à partir de lensemble des titres individuels puisque certains portefeuilles ne sont pas accessibles à partir de combinaisons de SICAV. De plus cette frontière est évaluée à laide dune suite de valeurs liquidatives qui résultent de stratégies de portefeuilles dynamiques. Ceci induit une restriction implicite dans lutilisation de cette frontière. En e ﬀ et, si les objectifs du gérant changent de manière notoire, en particulier en termes de risque, le positionnement dans lensemble des portefeuilles considérés pourra se modi Þ er de manière sensible. Posons alors 6 : A = R 0 V − 1 1 B = R 0 V − 1 R C = 1 0 V − 1 1 D = BC − A 2 Comme V est dé Þ nie positive, il en est de même de V − 1 et de ce fait lapplication ( a, b ) → a 0 V − 1 b dé Þ nit un produit scalaire sur R K . Comme de plus, 1 et R ne sont pas colinéaires, linégalité de Cauchy-Schwarz implique que D est strictement positif. Tout portefeuille y, caractérisé par une rentabilité espérée ρ y et une variance de rentabilité σ y 2 , solution du problème (2), véri Þ e : 2 C σ y 2 − CD µ ρ y − AC ¶ 2 = 1 (3) Dans lespace espérance-variance, on retrouve léquation dune parabole dont le sommet a pour coordonnées ¡ CA , C 1 ¢ , ce qui apparait en réécrivant léquation 3 sous la forme : A 2 µ σ y 2 − C 1 ¶ − DC µ ρ y − C ¶ = 0 3.3 Le portefeuille de variance minimum Léquation ci-dessus permet dénoncer les propriétés du portefeuille de variance min-imum correspondant au sommet de la frontière e ﬃ ciente. Lemma 1 Notons x min ∈ R K le portefeuille de variance minimum caractérisé par sa rentabilité r e min dont les deux premiers moments sont notés ρ min et σ 2 min ; on a alors, 6 Ces notations sont empruntées à Merton ( 1 972) ; voir aussi Huang-Litzenberger ( 1 988).

pour tout portefeuille x ∈ R K de rentabilité e r x : A = ρ min C 2 1 σ min = C Cov ( r e min ; r e x ) = σ 2 min On peut alors déduire de ce lemme le corollaire suivant. Corollary 2 Pour tout portefeuille x ∈ R K de rentabilité r e x , on a : σ x 2 − σ 2 min = V ( r e x − r e min ) Démonstration : Ce résultat est immédiat en développant le membre de droite de légalité et en appliquant le dernier résultat du lemme 1 : V ( r e x − r e min ) = σ x 2 + σ 2 min − 2 Cov ( r e min ; r e x ) = σ x 2 − σ 2 min Nous pouvons alors réécrire léquation de la frontière e ﬃ ciente à partir des carac-téristiques du portefeuille de variance minimum. Proposition 3 Tout portefeuille x de la frontière e ﬃ ciente véri Þ e : e VE (( rr ee xx −− rr e miinn )) 2 = D (4) m C Démonstration : Léquation de la frontière e ﬃ ciente sécrit : 1 µ σ 2 − ¶ − DC µ ρ x − CA ¶ 2 = 0 x C ⇔ ¡ σ x 2 − σ 2min ¢ − DC ( ρ x − ρ min ) 2 = 0 Le corollaire 2 implique que : V ( r e x − r e min ) − CD ( ρ x − ρ min ) 2 = 0 Comme E ( r e x − r e min ) = ρ x − ρ min , on obtient immédiatement le résultat voulu.

4 Une mesure de ﬃ cience relative des portefeuilles 4.1 Dé Þ nition Légalité 4 permet de construire une mesure dine ﬃ cience des portefeuilles à partir des remarques suivantes: -Si x est e ﬃ cient, tout portefeuille y tel que ρ y < ρ x et σ y = σ x est ine ﬃ cient et E ( r e y − r e min ))2 < DC . r y − r min V ( e e -Si x est e ﬃ cient, tout portefeuille y tel que ρ y = ρ x et σ y > σ x est ine ﬃ cient et E ( e r y − ee r min ) 2 < DC . V ( e r min ) r y − A partir de ces remarques, nous pouvons dé Þ nir un indicateur de ﬃ cience de la manière suivante. De Þ nition 4 Pour tout portefeuille x tel que ρ x > ρ min , on dé Þ nit lindicateur def-Þ cience I ( σ x , ρ x ) par : I ( σ x , ρ x ) = C E ( r e x − r e min ) 2 D V ( r e x − r e min ) Sauf mention contraire, cet indicateur sera noté I x pour simpli Þ er. Il est toutefois bon de remarquer que deux portefeuilles ayant même espérance et même variance de rentabilité auront le même indice de ﬃ cience puisque nous nous situons dans lespace ( σ 2 , e ) . Le second point important de cette dé Þ nition est quelle est restreinte aux portefeuilles dont lespérance est supérieure à ρ min , cest-à-dire ceux qui sont situés du bon côté de la frontière. Nous avons déjà remarqué que les portefeuilles e ﬃ cients véri Þ ent I ( x ) = 1 ; de plus les portefeuilles y se situant sur la droite horizontale dordonnée AC (di ﬀ érents du portefeuille de variance minimum) ont un indice de ﬃ cience I ( y ) égal à 0. Cependant cet indice nest pas dé Þ ni au point ( σ 2min , ρ min ) alors que ce portefeuille se situe sur la frontière e ﬃ ciente. Ce problème a une interprétation naturelle ; il vient de la forme de la frontière e ﬃ ciente qui a une pente in Þ nie au point ( σ 2min , ρ min ) . Cest pourquoi nous avons pris la précaution de dé Þ nir I uniquement pour les portefeuilles véri Þ ant ρ x > ρ min .

4.2 Propriétés de lindice I Proposition 5 La fonction I est continue en tout point x tel que ρ x > ρ min . Démonstration : Soient x et y deux portefeuilles et h un réel positif ; nous allons montrer que pour tout portefeuille y on a : lim h → 0 I ((1 − h ) x + hy ) = I ( x ) C E ¡e r e min ¢ 2 − I ((1 − h ) x + hy ) = D V ¡ rr e ((11 −− hh )) xx ++ hhyy r min ¢ e − 9

E ¡ r e (1 − h ) x + hy − r e min ¢ = E ((1 − h ) r e x + hr e y − r e min ) V ¡ r e (1 − h ) x + hy − r e min ¢ = V ((1 − h ) r e x + hr e y − r e min ) = V ((1 − h ) r e x + hr e y ) + σ 2min − 2 cov ((1 − h ) e h e ; r e min ) r x + r y Le lemme 1 implique que le dernier terme du membre de droite est égal à − 2 σ 2min doù lon déduit : V ¡ r e (1 − h ) x + hy − r e min ¢ = V ((1 − h ) r e x + hr e y ) − σ 2min De plus lim h → 0 V ((1 − h ) r e x + hr e y ) = σ x 2 et lim h → 0 E ((1 − h ) r e x + hr e y ) = e x et lon peut à nouveau utiliser la propriété du lemme 1 pour obtenir : lim h → 0 I ((1 − h ) x + hy ) = I ( x )

Dans une économie telle que nous la considérons, cest-à-dire sans actif sans risque, tous les portefeuilles de la frontière e ﬃ ciente sont équivalents dans le sens où ils min-imisent la variance de rentabilité pour une espérance donnée. Nous nimposons pas de benchmark particulier, comme cela a été mentionné dans lintroduction. La propriété suivante caractérise le portefeuille x ∗ situé sur la frontière e ﬃ ciente et qui présente la même espérance de rentabilité que le portefeuille x. Ce portefeuille interviendra explicitement dans la caractérisation de lindice I x . Proposition 6 Soit x un portefeuille quelconque et x ∗ le portefeuille de la frontière e ﬃ ciente tel que ρ x = ρ x ∗ on a 2 x ∗ Cor 2 ( r e x , r e x ∗ ) = y s ∈ u F p Cor 2 ( r e x , r e y ) = σσ x 2 où F est lensemble des portefeuilles de la frontière e ﬃ ciente et Cor ( r e x , r e y ) est la corrélation des rentabilités des portefeuilles x et y. Démonstration 7 Pour tout portefeuille e ﬃ cient x ∗ , il existe un portefeuille x c , appelé portefeuille conjugué, tel que cov ( r e x ∗ , r e x c ) = 0 . On sait de plus que lespérance de rentabilité de nimporte quel portefeuille z véri Þ e: E ( r e z ) = β x ∗ z E ( r e x ∗ ) + (1 − β x ∗ z ) E ( r e x c ) e cov ( r e x ∗ ,r z ) avec β x ∗ z = σ 2 . x ∗ Cette relation est vraie, en particulier pour x ; par conséquent : E ( r e x ) = β x ∗ x E ( r e x ∗ ) + (1 − β x ∗ x ) E ( r e x c ) 7 Ce résultat peut-être déduit directement de la proposition 3 de Kandel-Stambaugh ( 1 987). Nous donnons cependant une démonstration par souci dhomogénéité. 1 0

On en déduit alors : 5 cor ( r e x , r e x ∗ ) = σσ xx ∗ ρρ xx ∗ −− ρρ xx cc ( ) en remplaçant β x ∗ x par sa valeur. Dans le cas particulier où ρ x = ρ x ∗ on remarque que : x ∗ cor ( r e x , r e x ∗ ) = σ σ x Pour conclure, il faut utiliser le fait que la tangente à la frontière e ﬃ ciente, (dans lespace espérance-écart-type) en un portefeuille x ∗ , coupe laxe des ordonnées en un point dont lordonnée 8 est ρ x c . En notant y le portefeuille situé sur cette tangente mais véri Þ ant ρ x = ρ y , on a : E ( r e y ) − E ( r e x c ) E ( r e x ∗ ) − E ( r e x c ) = σ y σ x ∗ ce qui permet de réécrire léquation 5 : cor ( r e x , r e x ∗ ) = σσ yx EE (( rr ee xy )) −− EE (( rr ee xx cc ))= σσ yx Comme par construction, σ y ≤ σ x ∗ , la corrélation maximale est bien obtenue pour ∗ y = x , ce qui achève la démonstration. Nous pouvons maintenant traduire la valeur de I x en termes de distance à la frontière e ﬃ ciente. Proposition 7 L indice I x sexprime en fonction de σ x 2 ∗ , σ x 2 , σ 2min sous la forme : σ 2 − σ 2min = 2 I x σ xx 2 ∗ − σ min où x ∗ est dé Þ ni comme dans la proposition précédente. Démonstration : ICVE (( rr ee xx −− rr ee mmiinn )) 2 = C (( ρσ xx 2 −− ρσ m 2 miinn )) 2 x = D D ce qui équivaut à : I x ¡ σ x 2 − σ 2 min ¢ − CD ( ρ x − ρ min ) 2 = 0 Comme par ailleurs x ∗ est un portefeuille e ﬃ cient, on a aussi : 2 σ x 2 ∗ − σ min − DC ( ρ x ∗ − ρ min ) 2 = 0 8 Voir Quittard-Pinon ( 1 998), Théorème 3, p 93. 11

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