Sur la répartition des zéros de certaines fonctions méromorphes liées à la fonction zêta de Riemann

◦N d’ordre : 3622
`THESE
pr´esent´ee a`
´L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
´ ´ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
´ ˜´par Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
´ ´ ´SPECIALITE : MATHEMATIQUES PURES
´ ´SUR LA REPARTITION DES ZEROS
DE CERTAINES FONCTIONS
´ ´ `MEROMORPHES LIEES A LA
ˆFONCTION ZETA DE RIEMANN
Soutenue le : 19 septembre 2008 `a l’Institut de Math´ematiques de Bordeaux
Apr`es avis de :
´Herv´e QUEFFELEC, Professeur Universit´e de Lille 1 Rapporteur
Jie WU, Charg´e de Recherches Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1 Rapporteur
Devant la comission d’examen form´ee de :
Michel BALAZARD, Charg´e de Recherches Universit´e Aix-Marseille II Directeur
Yuri BILU, Professeur Universit´e Bordeaux 1 Rapporteur
´Driss ESSOUABRI, Professeur Universit´e de Saint Etienne Examinateur
´Herv´e QUEFFELEC, Professeur Universit´e de Lille 1 Examinateur
Jie WU, Charg´e de Recherches Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1 Examinateur
Alain YGER, Professeur Universit´e Bordeaux 1 Pr´esident
Universit´e Bordeaux 1 - Les Sciences et les Technologies au service de l’Homme et de l’environnement´ ˜´Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON
´ ´SUR LA REPARTITION DES ZEROS
DE CERTAINES FONCTIONS
´ ´ `MEROMORPHES LIEES A LA
ˆFONCTION ZETA DE RIEMANN´ ˜´Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON
Institut de Math´ematiques de Bordeaux - Universit´e Bordeaux 1,
351 Cours de la Lib´eration, 33405 Talence Cedex.
E-mail : Oswaldo.Velasquez@math.u-bordeaux1.fr
Je tiens `a remercier mon directeur de th`ese, Michel Balazard, tout d’abord pour
m’avoir accept´e en th`ese, lorsque j’´etais au P´erou, ce qui a entraˆın´e mon premier
voyage en Europe, et pour toute la patience et libert´e qu’il m’a accord´e pendant
ces ann´ees. Il a ´et´e t´emoin de mon ´evolution, au niveau des math´ematiques et du
franc¸ais.
Je dois un remerciement sp´ecial a` Driss Essouabri, qui m’a accueilli `a Caen pen-
dant ma derni`ere ann´ee de th`ese. D’une motivation in´epuissable et une grande soif
de connaissance, il m’a introduit aux probl`emes de prolongement m´eromorphe des
s´eriesde Dirichlet, ce qui a´et´e a` l’origine du dernier chapitre de ma th`ese. J’appr´ecie
´egalement son coˆt´e tr`es humain et je le remercie de ses conseils.
Je remercie Herv´eQu´effelec et Jie Wu, pour avoir accept´ede rapporter sur ma th`ese,
en sacrifiant des journ´ees de leurs vacances. Je suis ´egalement honor´e qu’ils fassent
partie de mon jury de th`ese.
Je remercie ´egalement Yuri Bilu et Alain Yger, deux professeurs de Bordeaux que
j’admire beaucoup, pour avoir accept´e de faire partie de mon jury de th`ese.
Ilestdifficilederemerciermaintenanttouslesgensquim’ontaid´ependantladur´eede
cette th`ese, directement ou indirectement, soit au niveau acad´emique, soit au niveau
personnel. J’ai eu la chance d’avoir pu r´ediger cette th`ese a` deux endroits diff´erents,
l’Institut de Math´ematiques de Bordeaux (IMB) et le Laboratoirede Math´ematiques
Nicolas Oresme (LMNO) de l’Universit´e de Caen (le deuxi`eme pendant la derni`ere
ann´ee de th`ese, en qualit´e d’ATER). Je remercie, a` l’IMB, Arnaud Chadozeau, Elie
Nasr, Issam Louhichi, Walid Zaouali, Matthieu Gendulphe, Montse Alonso, Fabien
Pazuki,JeanStarynk´evitch,NabilAboudi,AbdlilahBouali,RadoinBelaouar,Florent
Jouve, Bertrand Meyer. Je veux aussi remercier les membres de la Cellule Informa-
tique, de la Biblioth`eque de Math´ematique et Informatique et les s´ecretairesdu labo-
ratoire, pour m’avoir rendu la vie plus facile (surtout ces trois derniers). Au LMNO,
jementionnelesnomsdeDanielleSalles-LeGac,LeonardoBaffico(et Karine),Chris-
tian Ballot, Denis Simon, GabrieleRanieri, PatrickRabarison,Ludovic Delabarre.Je
remercie aussi les s´ecretaires.
Endehorsdeslaboratoires,je n’oubliepasde remercierNataly(etZiad),Victor,Car-
men (et Yann), Evanice, Benjamin, Jos´e Augusto, qui sans avoir rien `a voir avec les
math´ematiques (sauf le dernier), m’ont aid´e dans les moments de besoin.
Cette th`ese n’aurait pas vu le jour sans le soutien de mes parents, Sara et Oswaldo.
Je n’ai pas de mot, ni en franc¸ais ni en espagnol, pour exprimer mes sentiments de
gratitude envers eux.
Finalement, un grand merci pour son soutien inconditionnel `a la personne qui a eu le
plus de patience entre tous et qui m’attend depuis le d´ebut, ma ch`ere Yboon.
Je finis en remarquant que cette th`ese a d´emarr´egrˆace au soutien de l’Ambassade de
France au P´erou et le CONCYTEC.`A la m´emoire de ma grande m`ere Alicia´ ´SUR LA REPARTITION DES ZEROS DE CERTAINES
´ ´ `FONCTIONS MEROMORPHES LIEES A LA FONCTION
ˆZETA DE RIEMANN
´ ˜´Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON`TABLE DES MATIERES
Notations .................................................................... 9
Introduction .................................................................. 11
0.1.Majorationdunombredez´erosd’unefonctionm´eromorpheendehorsd’une
droite verticale ........................................................ 13
0.2. Z´eros d’approximations de la fonction zˆeta de Riemann ................ 18
0.3. Prolongement m´eromorphe et fronti`ere naturelle de produits eul´eriens .. 19
Bibliographie ................................................................ 21
1. Z´eros des exponentielles-polynˆomes .................................... 23
1.1. Polynoˆmes de Dirichlet .................................................. 23
1.2. Le cas g´en´eral des exponentielles-polynoˆmes ............................ 31
1.3. Stabilit´e ................................................................ 37
Bibliographie ................................................................ 39
2.Majorationdunombredez´erosd’unefonctionm´eromorpheendehors
d’une droite verticale et applications .................................. 41
2.1. Motivation et notations ................................................ 41
2.2. Z´eros sur la droite critique .............................................. 43
2.3. R´esultat principal ...................................................... 46
2.4. R´epartition globale des z´eros ............................................ 51
2.5. Polynˆomes et stabilit´e. Le th´eor`eme d’Hermite-Biehler .................. 52
2.6. Une exponentielle-polynˆome simple .................................... 54
2.7. Translat´ees de la fonction zˆeta de Riemann ............................ 56
2.8. Infinit´e de z´eros sur la droite critique .................................. 61
2.9. Infinit´e de z´eros a` droite de la droite critique et th´eor`emes de densit´e .. 63
2.10. Int´egrales associ´ees `a des s´eries d’Eisenstein .......................... 66
2.11. Dominance faible. Un r´esultat non effectif ............................ 73
2.12. Approximations de la fonction zˆeta d’Epstein .......................... 75
´2.13. Etude en l’absence de sym´etrie r´eelle .................................. 81`8 TABLE DES MATIERES
2.A. Stabilit´e ................................................................ 88
Bibliographie ................................................................ 91
3. Z´eros des sommes partielles de la fonction zˆeta de Riemann .. . . . . 95
3.1. Premi`ere localisation et r´epartition globale des z´eros .................... 95
´3.2. Etude du supremum des parties r´eelles des z´eros ........................100
´3.3. Etude de l’infimum des parties r´eelles des z´eros ........................103
3.4. Port´ee de l’approximation des sommes partielles a` la fonction zˆeta ......110
3.5. Z´eros des approximations de la fonction zˆeta issues de la formule d’Euler-
Maclaurin ..............................................................112
3.A. Exp´eriences num´eriques ................................................122
Bibliographie ................................................................124
4.Prolongementm´eromorpheetfronti`erenaturelled’unenouvelleclasse
de produits eul´eriens ....................................................127
4.1. Introduction ............................................................127
4.2. Une fonction zˆeta associ´ee `a l’indicatrice d’Euler ........................128
4.3. Produits eul´eriens associ´es a` des fonctions multiplicatives ..............136
4.4. G´en´eralisation ..........................................................138
Bibliographie ................................................................147